Implikacja (inaczej wynikanie) to spójnik łączący dwa zdania P (poprzednik implikacji) i Q (następnik implikacji) mówiący, że "z P wynika Q" ($P\; \backslash implies\; Q$).

Jest to najbardziej kontrowersyjny ze spójników logicznych. W logice klasycznej przyjmuje się implikację materialną: $P\; \backslash implies\; Q$ jest prawdziwe, jeśli $Q$ jest prawdziwe lub $P$ jest fałszywe.

Jest to określenie znaczenia wygodne ale całkowicie niezgodne z intuicyjnym rozumieniem "wynikania". Odmienne od klasycznej logiki zwykle proponują bardziej związane z intuicyjnym rozumieniem znaczenie implikacji - na przykład "istnieje procedura, która dowód P przekształca w dowód Q". W szczególności całkowicie nie do zaakceptowania dla intuicjonistów jest zasada logiki klasycznej, która orzeka, że "z fałszu wynika cokolwiek".

Tablica prawdy (matryca logiczna) implikacji, gdzie 1 to prawda, 0 to fałsz:

$P$	$Q$	$P\; \backslash implies\; Q$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Można też powiedzieć, że w logice klasycznej w ogóle nie ma implikacji - można ją bowiem trywialnie zastąpić alternatywą i negacją: $\backslash neg\; P\; \backslash or\; Q$, lub też koniunkcją i dwoma negacjami: $\backslash neg\; (P\; \backslash and\; \backslash neg\; Q)$.

Implikacja spełnia także poniższą równoważność:

$(P\backslash implies\; Q)\; \backslash iff\; (\backslash neg\; Q\; \backslash implies\; \backslash neg\; P)$

która nazywana jest zasadą kontrapozycji. Zasada ta jest podstawą dowodu nie wprost.

Przykłady

---

INTUICJA: Implikację można traktować jako obietnicę. "Obiecuję, że jeśli dostanę dwójkę z matematyki to zacznę odrabiać zadania". Jeśli rzeczywiście tak się stanie (poprzednik implikacji będzie prawdziwy), to muszę odrabiać zadania (1=>1), bo inaczej obietnica zostanie złamana (1=>0 fałsz!). W każdym innym przypadku implikacja będzie prawdziwa, bo obietnica zostanie spełniona (dostałam piątkę, mogę albo odrabiać zadania albo sobie odpuścić).

• Zdanie "Z tego, że Rzym jest stolicą Włoch wynika, że Warszawa jest stolicą Francji" jest fałszywe, zarówno w interpretacji intuicjonistycznej (bo jedno z drugiego w żaden sposób nie wynika) jak i klasycznej (bo poprzednik jest prawdziwy, zaś następnik fałszywy).
• Zdanie "Z tego, że księżyc jest z sera wynika, że Warszawa jest stolicą Francji" jest w interpretacji intuicjonistycznej fałszywe (bo jedno z drugim nie ma żadnego związku), natomiast w interpretacji klasycznej prawdziwe, bo poprzednik jest fałszywy, więc wynika z niego wszystko.
• Zdanie "Jeśli n jest podzielne przez 4, to jest podzielne przez 2" jest prawdziwe w obu interpretacjach dla dowolnego n.

Zobacz też

---

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• rachunek zdań
• prawa rachunku zdań
• alternatywa
• alternatywa wykluczająca
• dysjunkcja
• koniunkcja
• negacja
• równoważność
• NAND
• NOR
• Algebra Boole'a

Logika | Matematyka

Implikace | Subjunktion | Logical conditional | 条件文 | Subjunksjon (logikk) | Logisk implikation | เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์