Wahadło - ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości mogące wykonywać drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

• fizyczne i
• matematyczne

Wahadło fizyczne

Bryła sztywna mogąca wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

$$

T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}

gdzie:

• d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,
• g - przyspieszenie ziemskie,
• I - moment bezwładności ciała,
• m - masa ciała

Wahadło matematyczne

wahadelko1.png|thumb|right| Przestrzeń fazowa (θ,ω) wahadła matematycznego dla znacznego początkowego odchylenia. ]] wahadelko2.png|thumb|right| Przestrzeń fazowa (θ,ω) wahadła matematycznego dla znacznego początkowego odchylenia z silną siłą wymuszającą - widzimy bogate zachowanie dynamiczne - chaotyczne ]] Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła.

Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego wygląda następująco:

$ml^2\backslash frac\{d^2\backslash theta\}\{dt^2\}+\backslash gamma\backslash frac\{d\backslash theta\}\{dt\}+mgl\backslash sin\backslash theta=A\; \backslash cos\backslash omega\_Dt$

Gdzie:

• l - długość nici,
• g - przyspieszenie ziemskie,
• m - masa ciała,
• $\backslash theta$ - kąt wektora wodzącego ciała z pionem
• A - amplituda siły wymuszającej
• $\backslash omega\_D$ - częstość siły wymuszającej
• $\backslash gamma$ - współczynnink oporu ośrodka

Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet gdy A=0. Rozwiązanie przybliżone (dla małych wychyleń) otrzymujemy przez zastosowanie przybliżenia:

$\backslash sin\; x\backslash approx\; x$

Wtedy:

$\backslash theta(t)\backslash approx\; C\_1\backslash sin\backslash omega\; t\; +\; C\_2\backslash cos\backslash omega\; t$

gdzie:

$\backslash omega=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{T\}=\backslash sqrt\{\backslash frac\{g\}\{l\}\}$

$T\; =\; 2\backslash pi\backslash sqrt\{\backslash frac\{l\}\{g\}\}$

Stałe C₁ i C₂ zależą od warunków początkowych. Rozwiązanie równania ruchu jest przybliżone. Jest ono w miarę dobrze spełnione dla wychyleń początkowych mniejszych niż 8 stopni. Gdy nie wystepuje wymuszanie drgań ani opór ośrodka, próba rozwiązania równania różniczkowego prowadzi do całki eliptycznej oraz okresu drgań wyrażonego wzorem:

$T\; =\; 4\backslash sqrt\{l\; \backslash over\; g\}E\backslash left(\{\backslash sin\backslash theta\_0\backslash over\; 2\},\; \{\backslash pi\; \backslash over\; 2\}\; \backslash right)$

gdzie $E(k,\backslash phi)$ jest funkcją eliptyczną Legendre'a pierwszego rodzaju:

$E(k,\backslash phi)\; =\; \backslash int^\{\backslash phi\}\_0\; \{1\backslash over\backslash sqrt\{1-k^2\backslash sin^2\{\backslash theta\}\}\}d\backslash theta$.

Gdy amplituda siły wymuszającej przekroczy pewną wartość krytyczną mamy do czynienia z ruchem chaotycznym przejawiającym wszystkie cechy chaotycznych układów dynamicznych.

Wahadło Foucaulta

Duża masa zawieszona na długiej linie. Dzięki działaniu siły Coriolisa obracającej się Ziemi płaszczyzna drgań wahadła ulega powolnemu obrotowi, co jest ilustracją ruchu obrotowego Ziemi.

Inne

• wahadło torsyjne
• wahadło rewersyjne
• wahadło żyroskopowe
• wahadło balistyczne
• wahadło kolejowe
• wahadło Oberbecka
• wahadło zegarowe
• wahadełko (wahadło radiestezyjne)

Zobacz też: zegar wahadłowy

Mechanika

Махало | Matematisk pendul | Pendel | Pendulum | آونگ | Pendule (physique) | Pendolo | מטוטלת מתמטית | Bandul | Slinger (natuurkunde) | Pêndulo simples | Математический маятник | Nihalo | Pendel