Równanie różniczkowe jest to równanie, które wyznacza zależność między nieznaną funkcją a jej pochodnymi.

Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji $y$, której pochodne spełniają to równanie. Na przykład równanie różniczkowe $y\text{'}\text{'}\; +\; y\; =\; 0$ ma ogólne rozwiązanie w postaci $y\; =\; A\; \backslash cos\{x\}\; +\; B\; \backslash sin\{x\}$, gdzie $A$ i $B$ są stałymi wyznaczonymi z warunków brzegowych.

Równania różniczkowe można podzielić na:

• równania różniczkowe zwyczajne — w których szukamy funkcji jednej zmiennej
• równania różniczkowe cząstkowe — w których szukamy funkcji wielu zmiennych

Żeby rozwiazać równanie różniczkowe należy sprowadzić je do jednej ze standardowych form, a następnie użyć odpowiadającego tej formie przekształcenia.

Równania postaci $y^\backslash prime(x)\; =\; p(x)$

W najprostszym przypadku $y^\backslash prime$ występuje tylko raz, a $y$ i inne pochodne nie występują wcale. Rozwiązać taki problem możemy całkując obie strony równania:

$\backslash int\; y^\backslash prime(x)\; dx\; =\; \backslash int\; p(x)\; dx$

$y(x)\; =\; \backslash int\; p(x)\; dx$

Nie należy przy tym zapominać o czynniku stałym z lewej strony.

Przykład:

$y^\backslash prime(x)\; =\; x^2\; +\; x$

$y(x)\; =\; \backslash int\; (x^2\; +\; x)\; dx$

$y(x)\; =\; \backslash frac\; 1\; 3\; x^3\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; x^2\; +\; c$

Przykład 2:

$y^\backslash prime(x)\; +\; x\; y^\backslash prime\; (x)\; =\; x^2$

$(1+x)\; y^\backslash prime(x)\; =\; x^2$

$y^\backslash prime(x)\; =\; \backslash frac\; \{x^2\}\; \{1+x\}$ — musimy najpierw sprowadzić do standardowej postaci

$y(x)\; =\; \backslash int\; \backslash frac\; \{x^2\}\; \{1+x\}\; dx$ — i scałkować prawą stronę

$y(x)\; =\; \backslash int\; (x\; -\; 1)\; -\; \backslash frac\; 1\; \{1+x\}\; dx$

$y(x)\; =\; \backslash frac\; \{x^2\}\; 2\; -\; x\; -\; \backslash ln\; |1+x|\; +\; c$

Równania o zmiennych rozdzielonych

Powyższą metodę można uogólnić na szerszą klasę równań:

$q(y(x))y^\backslash prime(x)\; =\; p(x)$

W ich przypadku całkuje się obie strony:

$\backslash int\; q(y(x))\; dy(x)\; =\; \backslash int\; p(x)\; dx$

Po lewej uzyska się jakieś wyrażenie zawierające $y(x)$, po prawej zaś wyrażenie zawierające tylko samo $x$. Odpowiednio przekształcając to (już nie różniczkowe) równanie można uzyskać zamkniętą postać $y(x)$.

Przykład:

$y(x)y^\backslash prime(x)\; =\; e^x$

$\backslash int\; y(x)\; dy(x)\; =\; \backslash int\; e^x\; dx$

$\backslash frac\; 1\; 2\; y(x)^2\; =\; e^x\; +\; c$

$y(x)\; =\; \backslash pm\; \backslash sqrt\; \{2\; e^x\; +\; 2\; c\}$

Równania postaci $y^\backslash prime(x)\; =\; p(x)\; y(x)$

Rozwiązaniem takiego równania jest (w tym $c=0$):

$y(x)\; =\; c\; \backslash exp\; \backslash int\; p(x)\; dx$

Żeby to udowodnić podstawmy $y(x)$ do równania różniczkowego:

$\backslash left(c\; \backslash exp\; \backslash int\; p(x)\; dx\backslash right)^\backslash prime\; =\; p(x)\; c\; \backslash exp\; \backslash int\; p(x)\; dx$

$\backslash left(\backslash exp\; \backslash int\; p(x)\; dx\backslash right)^\backslash prime\; =\; p(x)\; \backslash exp\; \backslash int\; p(x)\; dx$ — możemy z obu stron pozbyć się stałej $c$

$\backslash left(\backslash exp\; \backslash int\; p(x)\; dx\backslash right)\; \backslash left(\backslash int\; p(x)\; dx\backslash right)^\backslash prime\; =\; p(x)\; \backslash exp\; \backslash int\; p(x)\; dx$ — ze wzoru na pochodną funkcji złożonej

$\backslash left(\backslash exp\; \backslash int\; p(x)\; dx\backslash right)\; p(x)\; =\; \backslash left(\backslash exp\; \backslash int\; p(x)\; dx\backslash right)\; p(x)$ — a pochodna całki po funkcji jest równa danej funkcji

Przykład:

$y^\backslash prime(x)\; =\; x^2y$

$y(x)\; =\; c\; \backslash exp\; \backslash int\; x^2\; dx$

$y(x)\; =\; c\; \backslash exp\; \backslash frac\; 1\; 3\; x^3$

Równania postaci $y^\backslash prime(x)\; =\; p(x)\; y(x)\; +\; q(x)$

Czyli tzw. liniowe równania różniczkowe.

Rozwiązaniem takich równań jest:

$y(x)\; =\; \backslash left(c\; +\; \backslash int\; q(x)\; \backslash exp\; \backslash left\; (-\; \backslash int\; p(x)\; dx\; \backslash right)\; dx\; \backslash right)\; \backslash exp\; \backslash int\; p(x)\; dx$

Co możemy przedstawić prościej jako:

$P(x)\; =\; \backslash int\; p(x)\; dx$

$y(x)\; =\; \backslash left(c\; +\; \backslash int\; q(x)\; e^\{-P(x)\}\; dx\; \backslash right)\; e^\{P(x)\}$

Przykład:

$y^\backslash prime(x)\; =\; \backslash frac\; y\; x\; +\; \backslash sin\; x$

$P(x)\; =\; \backslash int\; \backslash frac\; 1\; x\; dx$

$P(x)\; =\; \backslash ln\; x$

$y(x)\; =\; \backslash left(c\; +\; \backslash int\; \backslash sin\; (x)\; e^\{-\backslash ln\; x\}\; dx\; \backslash right)\; e^\{\backslash ln\; x\}$

$y(x)\; =\; \backslash left(c\; +\; \backslash int\; \backslash sin\; (x)\; e^\{\backslash ln\; \backslash frac\; 1\; x\}\; dx\; \backslash right)\; x$

$y(x)\; =\; \backslash left(c\; +\; \backslash int\; \backslash sin\; (x)\; \backslash frac\; 1\; x\; dx\; \backslash right)\; x$

$y(x)\; =\; \backslash left(c\; +\; \backslash int\; \backslash frac\; \{\backslash sin\; x\}\; x\; dx\; \backslash right)\; x$ — gdzie $\backslash int\; \backslash frac\; \{\backslash sin\; x\}\; x\; dx$ nie da się przedstawić w prostszej postaci.

Dowód: Podstawmy rozwiązanie do równania różniczkowego:

$\backslash left(\backslash left(c\; +\; \backslash int\; q(x)\; e^\{-P(x)\}\; dx\; \backslash right)\; e^\{P(x)\}\backslash right)^\backslash prime\; =\; \backslash left(c\; +\; \backslash int\; q(x)\; e^\{-P(x)\}\; dx\; \backslash right)\; e^\{P(x)\}\; p(x)\; +\; q(x)$

$\backslash left(c\; +\; \backslash int\; q(x)\; e^\{-P(x)\}\; dx\; \backslash right)\; (e^\{P(x)\})^\backslash prime$

+ \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} dx \right)^\prime e^{P(x)} = \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} dx \right) e^{P(x)} p(x) + q(x)

$\backslash left(c\; +\; \backslash int\; q(x)\; e^\{-P(x)\}\; dx\; \backslash right)\; e^\{P(x)\}\; P^\backslash prime(x)\; +\; q(x)\; e^\{-P(x)\}\; e^\{P(x)\}$

= \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} dx \right) e^{P(x)} p(x) + q(x)

$\backslash left(c\; +\; \backslash int\; q(x)\; e^\{-P(x)\}\; dx\; \backslash right)\; e^\{P(x)\}\; p(x)\; +\; q(x)$

= \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} dx \right) e^{P(x)} p(x) + q(x) Co też należało pokazać.

Równania Bernoulliego

Równania Bernoulliego to równania postaci:

$y^\backslash prime(x)\; =\; p(x)y(x)\; +\; q(x)(y(x))^\backslash alpha$, dla dowolnej liczby rzeczywistej $\backslash alpha$ (oprócz trywialnych przypadków 0 i 1, które redukują się bez podstawiania do równań liniowych)

Rozwiązujemy je sprowadzając je do równań liniowych przez podstawienie:

$v(x)\; =\; (y(x))^\{1-\backslash alpha\}$

Wtedy możemy rozwiązać równanie liniowe z $v(x)$:

$v^\backslash prime(x)\; =\; (1-\backslash alpha)p(x)v(x)\; +\; (1-\backslash alpha)q(x)$

A następnie wyprowadzamy $y(x)$ z $v(x)$.

Podstawienie to jest poprawne, ponieważ:

$((y(x))^\{1-\backslash alpha\})^\backslash prime\; =\; (1-\backslash alpha)p(x)(y(x))^\{1-\backslash alpha\}\; +\; (1-\backslash alpha)q(x)$

$(1-\backslash alpha)(y(x))^\{-\backslash alpha\}\; y^\backslash prime(x)\; =\; (1-\backslash alpha)p(x)(y(x))^\{1-\backslash alpha\}\; +\; (1-\backslash alpha)q(x)$

$(y(x))^\{-\backslash alpha\}\; y^\backslash prime(x)\; =\; p(x)(y(x))^\{1-\backslash alpha\}\; +\; q(x)$

$y^\backslash prime(x)\; =\; p(x)y(x)\; +\; q(x)(y(x))^\backslash alpha$

Przykład:

$y^\backslash prime(x)\; =\; y(x)\; \backslash sin\; x\; +\; (y(x))^3\; \backslash cos\; x$

$v(x)\; =\; (y(x))^\{-2\}$

$v^\backslash prime(x)\; =\; -2\; v(x)\; \backslash sin\; x\; -\; 2\; \backslash cos\; x$ — co już potrafimy rozwiązać

Równania postaci $y^\backslash prime(x)\; =\; p\backslash left(\backslash frac\; \{y(x)\}\; x\backslash right)\; +\; q(x)$

Równania takie rozwiązuje się podstawiając $v(x)\; =\; \backslash frac\; \{y(x)\}\; x$.

$y(x)\; =\; x\; v(x)$

$\backslash frac\; \{dy(x)\}\{dx\}\; =\; v(x)\; +\; x\; \backslash frac\{dv(x)\}\{dx\}$

Czyli po podstawieniu otrzymujemy:

$x\; v^\backslash prime(x)\; +\; v(x)\; =\; p(v(x))\; +\; q(x)$

$x\; v^\backslash prime(x)\; =\; p(v(x))\; -\; v(x)\; +\; q(x)$

Co powinno być znacznie łatwiejsze do rozwiązania.

Przykład:

$y^\backslash prime(x)\; =\; \backslash tan\; \backslash left(\; \backslash frac\; \{y(x)\}\; x\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\; \{y(x)\}\; x$

$x\; v^\backslash prime(x)\; +\; v(x)\; =\; \backslash tan\; \backslash left(\; v(x)\; \backslash right)\; +\; v(x)$

$x\; v^\backslash prime(x)\; =\; \backslash tan\; \backslash left(\; v(x)\; \backslash right)$

$\backslash frac\; \{v^\backslash prime(x)\}\; \{\backslash tan\; \backslash left(\; v(x)\; \backslash right)\}\; =\; \backslash frac\; 1\; x$

$\backslash int\; \backslash frac\; 1\; \{\backslash tan\; \backslash left(\; v(x)\; \backslash right)\}\; dv(x)\; =\; \backslash int\; \backslash frac\; 1\; x\; dx$

$\backslash ln\; \backslash left\; (\; \backslash sin\; v(x)\; \backslash right\; )\; =\; \backslash ln\; x\; +\; c$

$\backslash sin\; \backslash left(\; v(x)\; \backslash right\; )\; =\; e^\{\backslash ln\; x\; +\; c\}$

$\backslash sin\; \backslash left(\; v(x)\; \backslash right\; )\; =\; x\; e^c$

$v(x)\; =\; \backslash arcsin\; \backslash left\; (\; x\; e^c\; \backslash right\; )$ – możemy uprościć postać czynnika stałego

$v(x)\; =\; \backslash arcsin\; \backslash left\; (\; c\_1x\; \backslash right\; )$

$y(x)\; =\; x\; \backslash arcsin\; \backslash left\; (\; c\_1x\; \backslash right\; )$

Czynnik stały

Często w trakcie rozwiązywania równania pojawia się czynnik stały, a potem wyrażenia z tym czynnikiem coraz bardziej się komplikują. Możemy chcieć je uprościć, wprowadzając na miejsce czynnika stałego jakiś inny, np.:

$x\; +\; \backslash frac\; 12\; 5\; c\; =\; x\; +\; c\_1$

$\backslash frac\; x\; \{2c\}\; =\; c\_1\; x$

Wolno nam też robić rzeczy, których w innych sytuacjach nie powinniśmy, np.:

$e^\{x+c\}\; =\; e^ce^x\; =\; c\_1e^x$

Na pierwszy rzut oka nie wygląda to na poprawne przekształcenie – co jeśli ktoś przyjmie za $c\_1$ liczbę ujemną ? Równania różniczkowe jednak, nawet jeśli interesują nas tylko wyniki rzeczywiste, robimy tak naprawdę na liczbach zespolonych – dla rzeczywistych $c$, $e^c$ generuje nam wszystkie liczby dodatnie, $e^\{c\; +\; i\backslash pi\}$ zaś wygeneruje nam zaś wszystkie liczby ujemne (a inne $e^\{c+ix\}$ dadzą nam wyniki zespolone, których być może nie chcemy).

Zobacz też

---

• Rachunek różniczkowy
• Całka

Równania różniczkowe

Differensiaalvergelyking | Диференциално уравнение | Equació diferencial | Diferenciální rovnice | Differentialligning | Differentialgleichung | Differential equation | Ecuación diferencial | معادلات دیفرانسیل | Équation différentielle | 미분방정식 | Equazione differenziale | משוואה דיפרנציאלית | Differentiaalvergelijking | 微分方程式 | Equação diferencial | Ecuaţie diferenţială | Differentiaaliyhtälö | Differentialekvation | สมการเชิงอนุพันธ์ | Diferansiyel denklemler | 微分方程