Przestrzeń dyskretna i przestrzeń antydyskretna to chyba najprostsze przykłady przestrzeni topologicznych.

Definicje

---

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem niepustym.

Topologię dyskretną na zbiorze $X$ definiujemy jako rodzinę $\backslash tau\_\{dys\}$ wszystkich podzbiorów $X$. Tak więc każdy podzbiór $X$ jest otwarty w topologii dyskretnej. Dyskretna przestrzeń topologiczna to przestrzeń postaci $(X,\backslash tau\_\{dys\})$.

Topologię antydyskretną na zbiorze $X$ definiujemy jako rodzinę $\backslash tau\_\{anty\}=\backslash \{\backslash emptyset,X\backslash \}$. Tak więc tylko dwa podzbiory $X$ są otwarte w topologii antydyskretnej: cała przestrzeń $X$ i zbiór pusty. Antydyskretna przestrzeń topologiczna to przestrzeń postaci $(X,\backslash tau\_\{anty\})$.

Własności

---

• Przestrzenie dyskretne są metryzowalne przez metrykę dyskretną w której odległość między różnymi punktami jest 1. W szczególności przestrzenie dyskretne są normalne.
• Każda przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności. Taka przestrzeń spełnia drugi aksjomat przeliczalności wtedy i tylko wtedy gdy jest ona przeliczalna.
• Przestrzenie antydyskretne na zbiorach z co najmniej dwoma różnymi punktami nie są nawet przestrzeniami T₀.

Zobacz też

---

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

Topologia

Diskrete Topologie | Discrete space | Topología discreta