Częściowy porządek (ang. partial ordering) to relacja, która jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna.

Częściowy porządek można też zdefiniować jako antysymetryczny praporządek.

Głównie w matematyce dyskretnej, para $(X,\; \backslash leq)$, gdzie X to zbiór a $\backslash leq$ to relacja częściowego porządku określona na X bywa nazywana posetem (z ang. partially ordered set - zbiór częściowo uporządkowany).

Przykłady

---

• Szczególnym przypadkiem częściowego porządku jest porządek liniowy, w szczególności naturalny porządek na liczbach rzeczywistych jest porządkiem częściowym.
• Relacja $\backslash leq\_0$ określona w zbiorze liczb zespolonych jak następuje:

$a+bi\backslash leq\_0\; c+di$ wtedy i tylko wtedy gdy $a\backslash leq\; c$ oraz $b\backslash leq\; d$

jest częściowym porządkiem. Nie jest to jednak porządek liniowy.

• Relacja zawierania się zbiorów określona na dowolnej rodzinie podzbiorów ustalonego zbioru Z jest częściowym porządkiem.
• Każdy praporządek $R$ wyznacza porządek częściowy po utożsamieniu elementów $x,y$ takich że $x\backslash ;\; R\backslash ;\; y$ i $y\backslash ;\; R\backslash ;\; x$; proces ten można nazwać redukcją praporządku do porządku.

Ostre i słabe porządki

---

Relacje które są zwrotne, przechodnie i antysymetryczne bywają też nazywane słabymi porządkami częściowymi. Ostre porządki częsciowe to relacje przeciwzwrotne, przechodnie i antysymetryczne. Porządki ostre i słabe są blisko związane w tym sensie że łatwo jest zmienić relację jednego typu na relacje drugiego typu.

Przypuścmy, że $\backslash leq^+$ jest (słabym) porządkiem częściowym na zbiorze $X$. Wówczas relacja na $X$ zdefiniowana przez

wtedy i tylko wtedy gdy $x\backslash leq^+y$ oraz $x\backslash neq\; y$ jest ostrym porządkiem częściowym.

I na odwrót, jeśli jest ostrym porządkiem częściowym na zbiorze $X$, to relacja $\backslash leq^+$ na $X$ zdefiniowana przez

$x\backslash leq^+y$ wtedy i tylko wtedy gdy lub $x=\; y$ jest (słabym) porządkiem częściowym.

Często w tekstach matematycznych używamy zarówno słabej jak i silnej wersji porządku którym się interesujemy. Zwyczajowo używamy wtedy oznaczeń takich, aby wersja słaba była oznaczana symbolem zawierającym znak równości (np $\backslash leq$ lub $\backslash sqsubseteq$), a wersja silna była oznaczona symbolem bez tego znaku (np lub $\backslash sqsubset$).

Zobacz też

---

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• praporządek
• antyłańcuch
• łańcuch
• porządek liniowy
• dobry porządek
• pojęcie forsingu

Teoria mnogości

Halbordnung | Partially ordered set | Relation d'ordre | סדר חלקי | Rendezési reláció | Relazione d'ordine | Conjunto parcialmente ordenado | Relacija urejenosti | 偏序关系