Podprzestrzeń to termin w topologii na określenie podzbioru przestrzeni topologicznej z naturalnie oddziedziczoną topologią.

Definicja

---

Niech $(X,\backslash tau)$ będzie przestrzenią topologiczną a $Y$ będzie podzbiorem zbioru $X$. Topologia podprzestrzeni na $Y$ to rodzina $\backslash tau\_Y=\backslash \{U\backslash cap\; Y:U\backslash in\; \backslash tau\backslash \}$.

Łatwo się sprawdza że $(Y,\backslash tau\_Y)$ jest przestrzenią topologiczną. Często zamiast mówić $Y$ z topologią podprzestrzeni mówimy po prostu podprzestrzeń $Y$.

Przykłady

---

• Jeśli w zbiorze liczb rzeczywistych $\{\backslash mathbb\; R\}$ z topologią naturalną rozważymy zbiór liczb naturalnych $\{\backslash mathbb\; N\}$ z topologią podprzestrzeni, to stanie się on przestrzenią dyskretną. Natomiast zbiór liczb wymiernych $\{\backslash mathbb\; Q\}$ z topologią podprzestrzeni nie jest przestrzenią dyskretną – ta przestrzeń nie ma nawet punktów izolowanych.
• Jeśli $X=\{\backslash mathbb\; R\}$ (z topologią naturalną) a $Y=[0,2)$, to zbiór $[0,1)$ jest otwarty w $Y$, ale nie w $X$.

Charakteryzacja i własności

---

Topologia podprzestrzeni ma następujące własności. Przypuśćmy że $X$ jest przestrzenią topologiczną a $Y$ jest jej podprzestrzenią.

• Niech $i\; :\; Y\; \backslash longrightarrow\; X$ będzie zanurzeniem identycznościowym. Wówczas dla dowolnej przestrzeni topologicznej $Z$ i funkcji $f\; :\; Z\backslash longrightarrow\; Y$, $f$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy funkcja złożona $i\backslash circ\; f$ jest ciągła. Powyższa własność jest charakteryzacją w tym sensie, że może być użyta do zdefiniowania topologii podprzestrzeni na $Y$.
  • Jeśli $f:X\backslash longrightarrow\; Z$ jest funkcją ciągłą, to jej ograniczenie do $Y$ też jest ciągłe.
  • Podzbiór $F\backslash subseteq\; Y$ jest domknięty (w topologii na $Y$) wtedy i tylko wtedy gdy $F=F^*\backslash cap\; Y$ dla pewnego domkniętego podzbioru $F^*\backslash subseteq\; X$.
  • Jeśli $\{\backslash mathcal\; B\}$ jest bazą topologii na $X$, to $\{\backslash mathcal\; B\}\_Y\; =\; \backslash \{U\backslash cap\; Y\; :\; U\; \backslash in\; \{\backslash mathcal\; B\}\backslash \}$ jest bazą topologii na $Y$.
  • Każda podprzestrzeń przestrzeni $Y$ jest także podprzestrzenią przestrzeni $X$.
  • Jeśli $Y$ jest otwartym podzbiorem $X$, to podziór $U\backslash subseteq\; Y$ jest otwarty w $Y$ wtedy i tylko wtedy gdy jest otwarty w $X$.
  • Jeśli $Y$ jest domkniętym podzbiorem $X$, to podziór $F\backslash subseteq\; Y$ jest domknięty w $Y$ wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty w $X$.
  • Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną z metryką $d$, to wtedy $d\_Y=d\backslash upharpoonright(Y\backslash times\; Y)$ jest metryką na $Y$ i topologia podprzestrzeni na $Y$ jest wyznaczona przez $d\_Y$

  Własności dziedziczne

  ---

  Mówimy że własność P przestrzeni topologicznych jest własnością dziedziczną gdy:

  dla każdej przestrzeni topologicznej $X$, jeśli $X$ ma własność P i $Y$ jest podprzestrzenią $X$, to $Y$ także ma własność P.

  Przykłady własności dziedzicznych:

  • aksjomaty oddzielania $T\_0,T\_1,T\_2,T\_3,T\_\{3\{1\backslash over2\}\},T\_5,\; T\_6$,
  • aksjomaty przeliczalności,
  • metryzowalność,
  • całkowita niespójność,
  • bycie metryczną przestrzenią ośrodkową.

  Przykłady własności które nie są własnościami dziedzicznymi:

  • bycie przestrzenią normalną ,
  • ośrodkowość,
  • zwartość.
  Topologia

  Teilraumtopologie | Subspace topology | Topologia del sottoinsieme | טופולוגיה מושרית | Deelruimtetopologie