Moduły tworzą ważną klasę struktur algebraicznych. Pojęcie modułu z jednej strony jest uogólnieniem pojęcia grupy abelowej, z drugiej zaś przestrzeni liniowej. Dzięki temu teorię modułów można z powodzeniem stosować w wielu działach algebry i, ogólniej, matematyki.

Definicja

Niech M będzie grupą abelową z dodawaniem + i elementem neutralnym 0, zaś R pierścieniem. Mówimy, że M jest modułem nad R, jeśli istnieje funkcja, która każdej parze (r, m) (gdzie r jest elementem pierścienia R, zaś m elementem modułu M) przyporządkowuje element M oznaczany przez rm, taka że spełnione są następujące aksjomaty teorii modułów:

• r(m+m') = rm + rm'
• (r+r')m = rm + r'm
• r(r'm) = (rr')m
• 1m=m,

gdzie r, r' są dowolnymi elementami R, m, m' dowolnymi elementami M, zaś 1 jest elementem neutralnym mnożenia w pierścieniu R.

Przykłady

1. Grupy abelowe. Jeśli G jest grupą abelową, to G jest modułem nad pierścieniem liczb całkowitych Z. Parze (g, z), gdzie g należy do G, zaś z do Z, przyporządkowujemy element grupy G otrzymany przez dodanie g do siebie z razy. Łatwo sprawdzić, że wtedy spełnione są aksjomaty teorii modułów.

2. Przestrzenie liniowe. Jeśli V jest przestrzenią liniową nad ciałem K, to V jest modułem nad K. Parze (v, k), gdzie v jest wektorem z V, zaś k skalarem z K, przyporządkowujemy wektor kv. Odwrotnie, każdy moduł nad ciałem K jest przestrzenią liniową nad K.

Zobacz też

• Przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Algebra

Modul (Mathematik) | Module (mathematics) | Módulo (matemáticas) | Module sur un anneau | Modulo | מודול (מבנה אלגברי) | Модуль над кольцом | 模