Mnożenie macierzy to działanie, które parze macierzy A, B o wymiarach odpowiednio x×y i y×z przyporządkowuje macierz C o wymiarach x×z o współczynnikach:

$c\_\{ij\}=\backslash sum\_\{k=1\}^y\; a\_\{ik\}\backslash cdot\; b\_\{kj\}$

Zbiór macierzy kwadratowych o wymiarach n×n z działaniami dodawania i mnożenia tworzy pierścień.

Własności mnożenia macierzy:

• łączność: (AB)C = A(BC) dla wszystkich macierzy A, B, C (gdzie: dim(A)= k×m, dim(B)= m×n, dim(C)= n×p)
• rozdzielność:
  • (A + B)C = AC + BC (gdzie: dim(A)= dim(B)= m×n, dim(C)= n×k)
  • C(A + B) = CA + CB (gdzie: dim(A)= dim(B)= m×n, dim(C)= k×m).

Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne, nawet gdy oba mnożenia AB i BA są wykonalne, jak w przypadku macierzy kwadratowych.

Wykonanie mnożenia można zilustrować następująco:

Matrix_multiplication_diagram.PNG

Przykład

---

W programowaniu

---

Naiwny algorytm mnożenia macierzy o wymiarach x×y i y×z wymaga x×y×z mnożeń. Dla macierzy kwadratowych daje to algorytm klasy O(n³). Istnieją wydajniejsze algorytmy rozwiązywania tego zadania. Pierwszy z takich algorytmów podał w 1969 r. Volker Strassen - złożoność tego algorytmu to około O(n^2,807). Nie jest on jednak zwykle używany w praktyce, bo brakuje mu stabilności numerycznej. Najlepszy obecnie znany algorytm mnożenia macierzy, podany przez Dona Coppersmitha i Shmuela Winograda, ma złożoność rzędu O(n^2,376). Dolne oszacowanie złożoności mnożenia macierzy, wynikające stąd, że musimy obliczyć n² wartości, to Ω(n²).

Jeśli to możliwe, należy skorzystać z algorytmów wykorzystujących szczególne własności macierzy - na przykład mnożenie macierzy diagonalnych jest klasy O(n).

Zobacz też

---

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• dodawanie macierzy
• potęgowanie macierzy

Macierze

Násobení matic | Matrix multiplication | Producto de matrices | Produit matriciel | Moltiplicazione di matrici | כפל מטריצות | Matrixvermenigvuldiging