Mediana

Mediana (zwana też wartością środkową lub drugim kwartylem) to w statystyce wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji. Mediana jest kwantylem rzędu 1/2.

Aby obliczyć medianę ze zbioru n obserwacji, sortujemy je w kolejności od najmniejszej do największej i numerujemy od 1 do n. Następnie, jeśli n jest nieparzyste, medianą jest wartość obserwacji w środku (czyli obserwacji numer (n+1)/2). Jeśli natomiast n jest parzyste, wynikiem jest średnia arytmetyczna między dwiema środkowymi obserwacjami, czyli obserwacją numer n/2 i obserwacją numer (n/2)+1.

Niekiedy używane są też inne wersje mediany:

Wersja w której dla parzystego n zamiast średniej arytmetycznej losuje się jedną z dwóch obserwacji: numer n/2 lub n/2+1. Taka mediana nie wyprowadza wyniku poza zbiór dotychczasowych wartości. Znajduje zastosowanie szczególnie przy obróbce dwubarwnych map bitowych. Klasyczna mediana wymagałaby wówczas wprowadzenia obok istniejących kolorów białego i czarnego także koloru szarego.
Mediana ważona w której każda obserwacja $a_i$ ma przypisaną wagę $w_i$ . Jeśli $w_i$ są liczbami naturalnymi, jej obliczenie sprowadza się do obliczenia klasycznej mediany, w której obserwacja $a_i$ jest wzięta pod uwagę $w_i$ razy.

Mediana znalazła szerokie zastosowanie w statystyce jako średnia znacznie bardziej odporna na elementy odstające niż średnia artymetyczna. Używana jest także w grafice komputerowej i przetwarzaniu dźwięku w celu odszumiania - na obrazie zachowuje ona ostre krawędzie przy jednoczesnym usunięciu szumów.

Odporność na elementy odstające jest na ogół zaletą, jednak czasem może być uważane za wadę - nawet olbrzymie zmiany skrajnych obserwacji nie wpływają na jej wartość. Stąd pojawiły się propozycje pośrednie pomiędzy nimi, takie jak średnia windsorska, stosowana na przykład w konkursach tańca na lodzie.

W teorii grafów istnieje też termin: mediana grafu.

Zobacz też

Statystyka

Gourt Home::Gourt :: Mediana

Zobacz też