Kwadrat (geometria)

Kwadrat to czworokąt foremny o równych bokach i przystających kątach (wszystkie kąty w kwadracie są proste). Kwadrat to szczególny przypadek prostokąta o wszystkich bokach równych a także rombu o wszystkich kątach równych.

Przekątne kwadratu są wzajemnie prostopadłe oraz mają jednakową długość. Ich punkt przecięcia dzieli każdą z nich na dwie równe części. Punkt ten jest także środkiem symetrii kwadratu. Przekątne kwadratu zawarte są w dwusiecznych jego kątów.

Kwadrat na płaszczyźnie posiada cztery osie symetrii: dwie z nich to proste zawierające przekątne, drugie dwie to symetralne boków.

Każde dwa kwadraty są do siebie podobne.

Wzory

Jeśli bok kwadratu oznaczymy przez

a

, to:

pole powierzchni:

S = a^2\,

obwód:

L = 4 a\,

długość przekątnej:

d= a\sqrt{2}

promień koła wpisanego:

r= \frac{1}{2} a

pole koła wpisanego:

S_r= \frac{1}{4} a^2 \pi \approx 0.785 a^2

obwód koła wpisanego:

L_r= \pi \cdot a \approx 3.14 a \,

promień koła opisanego:

R = \frac{1}{2} a \sqrt{2} = \frac{1}{2}d \,

pole koła opisanego:

S_R= \frac{1}{2} \pi a^2 \approx 1.57 a^2 \,

obwód koła opisanego:

L_R= \pi a \sqrt{2} \approx 4.44 a

Tabela przedstawia podstawowe zależności w kwadracie:

$=\,$	$a\,$	$d\,$	$S\,$	$r\,$	$R\,$	$L_r\,$	$L_R\,$	$S_r\,$	$S_R\,$
$a\,$	$a\,$	$\frac{d \sqrt{2}}{2}$	$\sqrt{S}$	$2r\,$	$R \sqrt{2}$	$\frac{L_r}{\pi}$	$\frac{L_R \sqrt{2}}{2 \pi}$	$2 \sqrt{ \frac{S_r}{\pi} }$	$\sqrt{ \frac{2 S_R}{\pi} }$
$d\,$	$a \sqrt{2}$	$d\,$	$\sqrt{2S}$	$2r\sqrt{2}$	$2R\,$	$\frac{L_r \sqrt{2}}{\pi}$	$\frac{L_R}{\pi}$	$2 \sqrt{\frac{2 S_r}{\pi} }$	$2 \sqrt{ \frac{S_R}{\pi} }$
$S\,$	$a^2\,$	$\frac{1}{2} d^2$	$S\,$	$4r^2\,$	$2R^2\,$	$\left( \frac{L_r}{\pi} \right)^2$	$\frac{1}{2} \left( \frac{L_R}{\pi} \right)^2$	$\frac{4 S_r}{\pi}$	$\frac{2 S_R}{\pi}$
$r\,$	$\frac{1}{2} a$	$\frac{d \sqrt{2}}{4}$	$\frac{1}{2} \sqrt{S}$	$r\,$	$\frac{R \sqrt{2}}{2}$	$\frac{L_r}{2\pi}$	$\frac{L_R \sqrt{2}}{4 \pi}$	$\sqrt{ \frac{S_r}{\pi} }$	$\sqrt{ \frac{S_R}{2 \pi} }$
$R\,$	$\frac{a \sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2} d$	$\frac{\sqrt{2S}}{2}$	$r\sqrt{2}$	$R\,$	$\frac{L_r \sqrt{2}}{2\pi}$	$\frac{L_R}{2\pi}$	$\sqrt{\frac{2 S_r}{\pi} }$	$\sqrt{ \frac{S_R}{\pi} }$
$L_r\,$	$a\pi\,$	$\frac{d\pi \sqrt{2}}{2}$	$\pi\sqrt{S}$	$2\pi r\,$	$\pi R \sqrt{2}$	$L_r\,$	$\frac{L_R \sqrt{2}}{2}$	$2 \sqrt{\pi S_r}$	$\sqrt{2 \pi S_R}$
$L_R\,$	$a\pi \sqrt{2}\,$	$d\pi\,$	$\pi\sqrt{2S}$	$2\pi r\sqrt{2}$	$2\pi R\,$	$L_r \sqrt{2}$	$L_R \,$	$2 \sqrt{2\pi S_r}$	$2\sqrt{\pi S_R}$
$S_r\,$	$\frac{\pi a^2}{4}\,$	$\frac{\pi d^2}{8}$	$\frac{\pi S}{4}\,$	$\pi r^2\,$	$\frac{1}{2} \pi R^2\,$	$\frac{L_r^2}{4\pi}$	$\frac{L_R^2}{8\pi}$	$S_r\,$	$\frac{1}{2} S_R$
$S_R\,$	$\frac{\pi a^2}{2}\,$	$\frac{\pi d^2}{4}$	$\frac{\pi S}{2}\,$	$2\pi r^2\,$	$\pi R^2\,$	$\frac{L_r^2}{2\pi}$	$\frac{L_R^2}{4\pi}$	$2S_r\,$	$S_R\,$

Kwadraty są ścianami niektórych wielościanów, m.in. sześcianu, ośmiościanu ściętego.

Warto pamiętać, iż osie symetrii kwadratu dzielą go na 8 przystających trójkątów.

Zobacz też

Linki Zewnętrzne

Square -- From MathWorld

Wielokąty

Gourt Home::Gourt :: Kwadrat (geometria)

Wzory

Zobacz też

Linki Zewnętrzne