Krzywa Kocha

Flocke.PNG Krzywa Kocha, jest to brzeg figury - fraktala, przypominającego płatek śniegu.

Krzywa ta, jest nieskończenie długa, lecz ogranicza ona skończoną powierzchnię

"Trudno to sobie wyobrazić, ale ta krzywa nie zawiera żadnych odcinków - w każdym swym punkcie ma 'zagięcie', a więc w żadnym swym punkcie nie ma stycznej."

Koch C l0.gif Koch C l1.gif Koch C l2.gif

Tworzenie Krzywej Kocha

Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpenie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka.

Krok 0

Krzywa Kocha w kroku zerowym (k=0) jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości 1/3 l, nachylone względem niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.

Krok 1

Krzywa Kocha w kroku pierwszym (k=1), po transofmacji zawiera 4 odcinki, każdy równy 1/3 l. W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie podzielonyna 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.

Krok 2

Krzywa Kocha w kroku drugim (k=2) zawiera już 16 odcinków, każdy długości 1/9 l. W kolejnym kroku (k=3) powstanie 64 odcinków, każdy długości 1/27 l itd.

Wymiar

W każdym kroku powstaje 4k odcinków, każdy długości 1/3k l. Jednak obrazy otrzymywane w tych krokach nie są fraktalami - są dopiero przedfraktalami. Prawdziwa krzywa Kocha zawiera nieskończenie wiele elementów, które są nieskończenie krótkie - przynajmniej tak wynikałoby z tych wzorów. W rzeczywistości jednak nie mają one żadnej długości (technicznie określa się to, jako miara zerowa), zaś cała ta figura jest tylko zbiorem kątów. Zarówno krzywa Kocha, jak i płatek śniegu Kocha, mimo iż zawierają się w skończonym obszarze, mają nieskończoną długość.

W każdej skali krzywa Kocha zawiera w sobie 4 (N=4) kopie, każda długości 1/3 (s=1/3) całości. Tak więc wymiar fraktalny krzywej Kocha wynosi:

$D_{s}=\frac{\log(n)}{\log(1/s)}=\frac{\log(4)}{\log(1/_{1/3})}=\frac{\log(4)}{\log(3)}\approx\frac{2}{1.58496}\approx1.26186$

Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

Linki zewnętrzne

Płatek śniegu - konstrukcja i opis

Geometria fraktalna