Kostka Mengera

Kostka Mengera, gąbka Mengera – bryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi:

log₃20 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,726833.

Konstrukcja kostki została podana przez austriackiego matematyka Karla Mengera w roku 1927.

Konstrukcja

Kostka Mengera powstaje w następujący sposób:

Dany jest sześcian
Tniemy go na 27 sześcianów równej wielkości płaszczyznami równoległymi do ścian
Usuwamy wszystkie sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz sześcian znajdujący się w jego środku
Do każdego z 20 pozostałych sześcianów stosujemy poprzednią procedurę

Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy kostę Mengera.

Własności

Każda ściana kostki jest dywanem Sierpińskiego. Przekątna kostki jest zbiorem Cantora. Kostka jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, a jej miara Lebesgue'a jest równa 0.

Definicje formalne

Definicja rekurencyjna

Precyzyjne określenie kostki Mengera jest następujące:

M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n

gdzie M₀ oznacza sześcian {(x,y,z) : 0 ≤ x,y,z ≤ 1}

M_{n+1} := \left\{

(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: \ { \exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n \atop \mbox{ i co najwyzej jedna z liczb }i,j,k\mbox{ jest rowna 1 }} \right\}

Definicja nierekurencyjna

Kostkę Mengera można też zdefiniować w równoważny sposób nie używając rekurencji:
Kostka Mengera to domknięcie zbioru punktów (x,y,z) takich, że 0 ≤ x,y,z ≤ 1 i w nieskończonych rozwinięciach współrzędnych x,y,z w trójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Prosty model kostki Mengera

Geometria fraktalna