Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) to funkcja f : K→K dana wzorem f(x)=ax²+bx+c, gdzie a, b, c ∈ K i współczynnik a ≠ 0. K oznacza dowolne ciało, najczęściej jest to ciało liczb zespolonych C lub rzeczywistych R.

W szczególności jeśli K=R, to zachodzą następujące własności.

Liczba rzeczywistych miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli liczba rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego ax²+bx+c=0 zależy od wielkości

Δ = $b^\{2\}\; -\; 4ac$

zwanej wyróżnikiem funkcji kwadratowej. Są trzy możliwości:

• Δ < 0 — funkcja ma dwa różne pierwiastki zespolone, sprzężone. Nie ma rzeczywistych miejsc zerowych.
• Δ = 0 — funkcja ma jedno (podwójne) miejsce zerowe.
• Δ > 0 — funkcja ma dwa różne rzeczywiste miejsca zerowe.

Miejsca zerowe wyrażają się wzorem: $x\_\{1,2\}=\backslash frac\{-b\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash Delta\}\}\{2a\}$. W szczególności gdy Δ = 0 jest jedno miejsce podwójne równe $x\_\{0\}=\backslash frac\{-b\}\{2a\}$.

W przypadku gdy równanie kwadratowe jest niezupełne miejsca zerowe wyrażają się wzorami:

gdy c = 0: $x\_\{1\}\; =\; 0,\; x\_\{2\}=\backslash frac\{-b\}\{a\}$

gdy b = 0 i ac > 0: $x\_\{1,2\}=\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash frac\{-c\}\{a\}\}$

gdy b = 0 i $ac\; \backslash leq\; 0$ równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych

gdy c = 0 i b = 0: $x\_\{0\}\; =\; 0$ (pierwiastek dwukrotny)

Pisząc równanie funkcji kwadratowej w postaci $y=a(x+\backslash frac\{b\}\{2a\})^2-\backslash frac\{\backslash Delta\}\{4a\}$ (postać kanoniczna) otrzymujemy równanie paraboli y=ax² przesuniętej o wektor -Δ/4a. Punkt $\backslash left\; (-\backslash frac\{b\}\{2a\},-\backslash frac\{\backslash Delta\}\{4a\}\backslash right\; )$ jest wierzchołkiem.

Ramiona paraboli są skierowane "w górę" gdy a > 0, gdy a < 0 skierowane są "w dół".

Jeżeli wyróżnik funkcji kwadratowej y=ax²+bx+c jest nieujemny, wówczas wzór funkcji można przekształcić do postaci $y=a(x-x\_\{1\})(x-x\_\{2\})$ (postać iloczynowa), gdzie x₁ i x₂ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej. Jeżeli funkcja ma pierwiastek podwójny, wzór ten przybiera postać: y=a(x–x₁)².

Zobacz też

---

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• równanie dwukwadratowe,
• wzory Viète'a.

Funkcje matematyczne

Квадратна функция | Quadratische Funktion | Quadratic function | Kwadratische functie | 二次関数 | Kvadratická funkcia