Element neutralny – w zbiorze S, w którym określone jest działanie dwuargumentowe @ jest to element e spełniający dwa warunki:

1. dla dowolnego a ze zbioru S: e @ a = a
2. dla dowolnego a ze zbioru S: a @ e = a.

Przykłady:

• elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest liczba zero
• elementem neutralnym mnożenia liczb rzeczywistych jest liczba jeden
• elementem neutralnym mnożenia macierzy kwadratowych ustalonego wymiaru jest macierz jednostkowa
• elementem neutralnym operacji składania przekształceń danego zbioru X na siebie jest odwzorowanie tożsamościowe

Nie każde działanie ma element neutralny – przykładem jest mnożenie liczb całkowitych zawężone do zbioru liczb parzystych. Jeśli jednak element neutralny istnieje, to jest tylko jeden.

Czasam wyróżnia się element neutralny lewostronny, gdy spełniony jest tylko warunek 1 lecz nie 2, i element neutralny prawostronny, gdy spełniony jest tylko warunek 2 lecz nie 1.

Przykładem działania, które ma element neutralny prawostronny jest zwykłe odejmowanie liczb rzeczywistych. Elementem neutralnym prawostronnym jest liczba zero - mamy bowiem x - 0 = x dla dowolnego x. Jednocześnie 0 - x = -x, a zatem 0 nie jest elementem neutralnym lewostronnym.

Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Jako przykład niech posłuży działanie w zbiorze liczb rzeczywistych większych lub równych 1, określone wzorem x @ y = x·gdzie część całkowitą liczby y. W tym przypadku każda liczba y mniejsza od 2 jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem dla dowolnego x i y < 2: x @ y = x·[y" target="_blank" >^* = x·1 = x.

Jeżeli jednak działanie ma jednocześnie elementy neturalne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe i jest to oczywiście element neutralny obustronny. Element neutralny jednostronny jest automatycznie obustronny w przypadku działania przemiennego.

Większość ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała ma elementy neutralne.

Zobacz też

• element odwrotny,
• łączność,
• przemienność,
• rozdzielność,
• przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

عنصر حيادي | Neutrální prvek | Neutrales Element | Ühikelement | Identity element | Elemento neutro | Élément neutre | 항등원 | Elemento neutro | איבר יחידה | Neutrális elem | Neutraal element | 単位元 | Elemento neutro | Neutrálny prvok | Enak element | Neutraalialkio | Neutralt element | Phần tử đơn vị | 單位元