Dzielnik

Dzielnik w matematyce ma dwa różne znaczenia.

Dzielnik jako operand w dzieleniu

Dzielnikiem przy dzieleniu nazywa się liczbę, przez którą się dzieli. Na przykład w dzieleniu 12 / 4 = 3 liczba 4 jest dzielnikiem.

Dzielnik jako przeciwieństwo wielokrotności

Dzielnikiem dowolnej liczby całkowitej x nazywa się liczbę całkowitą y, dla której istnieje takie z należące do liczb całkowitych, że

y z=x

. Innymi słowy, y jest dzielnikiem x, gdy przy dzieleniu x przez y otrzymuje się resztę 0. Dzielnik jest synonimem podwielokrotności będącej liczbą całkowitą.

Badaniem podzielności w zakresie liczb całkowitych zajmuje się teoria liczb. Często przez dzielnik liczby rozumie się dzielnik dodatni; wówczas przy wymienianiu dzielników nie pisze się liczb ujemnych (zobacz wyjaśnienie niżej), mówi się np. że liczba pierwsza jest liczbą posiadającą dokładnie 2 dzielniki; w rzeczywistości każda liczba pierwsza posiada 4 dzielniki: 1, p, -1, -p.

W teorii liczb liczbę wszystkich dzielników dodatnich oznacza się przez $d(n)$ , np. $d(10) = 4$ (10 ma 4 dzielniki dodatnie). Zachodzi równość:

d(1) + d(2) + \dots + d(n) = \left ( 2 \cdot \sum_{i=1}^{\lfloor{\sqrt{n}}\rfloor} \left\lfloor{n \over i}\right\rfloor \right ) - \lfloor{\sqrt{n}\rfloor}^2

Rozszerzenie na dowolne pierścienie

Definicję dzielnika można łatwo rozszerzyć na dowolne pierścienie całkowite. Jeżeli x jest dzielnikiem y a y jest dzielnikiem x wówczas liczby x i y nazywa się stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia jest relacją równoważności. Jeżeli x jest dzielnikiem y to każda liczba stowarzyszona z x jest też dzielnikiem y. Dlatego też w zbiorze dzielników tradycyjnie wyróżnia się pewne elementy (np. liczby dodatnie w pierścieniu Z) aby jeden z dzielników reprezentował inne, stowarzyszone z nim.

Badaniem podzielności w pierścieniach zajmuje się teoria podzielności.

Największy dzielnik elementu x, który jest równocześnie dzielnikiem y nazywa się największym wspólnym dzielnikiem liczb x i y. Jest on określony z dokładnością do stowarzyszenia.

Cechy podzielności

Aby zbadać podzielność wielkich liczb, nie trzeba wykonywać żmudnego dzielenia. Wystarczy sprawdzić odpowiednie cechy podzielności. W systemie dziesiętnym następujące warunki (konieczne i dostateczne) pozwalają stwierdzić podzielność znacznie mniejszym nakładem pracy:

Każda liczba jest podzielna przez 1.
Liczba jest podzielna przez 2 (jest liczbą parzystą), jeśli ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2, 4, 6, 8.
Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3. Przykład: 104628: suma cyfr 1+0+4+6+2+8=21, 21: 2+1=3, jest podzielna przez 3.
Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 4.
Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.
Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3.
Liczba jest podzielna przez 7, jeśli suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3 (włącznie z potęgą zerową: 3⁰=1) jest podzielna przez 7.

Przykład:

{| align=center 1757 : 1·27+7·9+5·3+7·1=112 1761 : 1·27+7·9+6·3+1·1=109 112 : 1·9+1·3+2·1=14 109 : 1·9+0·3+9·1=18 14 : 1·3+4·1=7 18 : 1·3+8·1=11 11 : 1·3+1·1=4 Liczba 1757 oraz 112 i 14
są podzielne przez 7. Liczba 1761 oraz 109, 18, 11 i 4
nie dzielą się przez 7.

Liczba jest podzielna przez 8, jeśli liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez 8.
Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9.
Liczba jest podzielna przez 10, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0.
Liczba jest podzielna przez 11, jeśli po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych, sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy liczbę podzielną przez 11. Przykład:

Liczba 854073 -> (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11

854073 jest podzielna przez 11

Liczba jest podzielna przez 12, jeśli jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.

Liczba jest podzielna przez 13, jeśli różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby złożonej z pozostałych liczb jest podzielna przez 13, np. 85527 -> 527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest podzielna przez 13.

Liczba jest podzielna przez 14, jeśli jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.

Liczba jest podzielna przez 15, jeśli jest podzielna zarówno przez 3 i przez 5.

Liczba jest podzielna przez 18, jeśli jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.

Liczba jest podzielna przez 20, jeśli jest podzielna zarówno przez 4 i przez 5.

Skoro 20=2·10, to liczba jest podzielna przez 20, gdy jest podzielna przez 10 i potem jeszcze iloraz jest podzielny przez 2 – czyli gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, zaś przedostatnią jest 0, 2, 4, 6 albo 8.

Reasumując, liczba jest podzielna przez 20 jeśli jej ostatnia cyfra jest równa 0 a przedostatnia cyfra jest parzysta.

Liczba jest podzielna przez 21, jeśli jest podzielna zarówno przez 3 i przez 7.

Liczba jest podzielna przez 22, jeśli jest podzielna zarówno przez 2 i przez 11.

Liczba jest podzielna przez 24, jeśli jest podzielna zarówno przez 3 i przez 8.

Liczba jest podzielna przez 25, jeśli jej dwie ostatnie cyfry to 00, 25, 50 lub 75.

Liczba jest podzielna przez 26, jeśli jest podzielna zarówno przez 2 jak i przez 13.

Liczba jest podzielna przez 28, jeśli jest podzielna zarówno przez 4 jak i przez 7.

Liczba jest podzielna przez 30, jeśli jest podzielna zarówno przez 2, 3 i 5. Inaczej - suma cyfr jest podzielna przez 3, a zapis dziesiętny liczby kończy się zerem.

Liczba jest podzielna przez 2ⁿ, jeśli liczba utworzona z n jej ostatnich cyfr jest podzielna przez 2ⁿ.

Liczba jest podzielna przez 5ⁿ, jeśli liczba utworzona z n jej ostatnich cyfr jest podzielna przez 5ⁿ.

Liczba jest podzielna przez 10ⁿ, jeśli n jej ostatnich cyfr jest zerami.

Inne zasady:

Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez k i l, $n = k * l$ oraz k i l są liczbami wzglednie pierwszymi.
Zero jest podzielne przez każdą liczbę.

Zasady te można udowodnić używając kongruencji.

Zobacz też

Teoria liczb | Teoria pierścieni

Gourt Home::Gourt :: Dzielnik

Dzielnik jako operand w dzieleniu

Dzielnik jako przeciwieństwo wielokrotności

Rozszerzenie na dowolne pierścienie

Cechy podzielności

Zobacz też