Gourt Home::Gourt :: Działanie dwuargumentowe
Działanie dwuargumentowe – w matematyce jest to funkcja, która uporządkowanym parom elementów danego zbioru przypisuje znowu element tego zbioru.
Badaniem działań i ich ogólnych własności zajmuje się algebra ogólna.
Przykłady
- Każde z czterech podstawowych działań arytmetycznych na liczbach rzeczywistych jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze liczb rzeczywistych w opisanym tu znaczeniu: parom liczb rzeczywistych przypisujemy inną liczbę – wynik działania.
- W zbiorze liczb naturalnych można określić działanie potęgowania: xy, które parom liczb (x, y) przypisuje odpowiednią potęgę.
- Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze wektorów tej przestrzeni.
- Składanie funkcji określonych na danym zbiorze A o wartościach w zbiorze A jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze powyższych funkcji.
Sposoby zapisu
Jeżeli @ jest działaniem dwuargumentowym, to do jego zapisu najczęściej używa się notacji wrostkowej: zamiast pisać @(x, y) = z, piszemy x @ y = z na oznaczenie działania i jego wyniku.
W rzadkich przypadkach stosowana jest notacja prefiksowa (notacja polska): @(x, y) = z; nieco częściej, zwłaszcza w informatyce, notacja postfiksowa (odwrotna notacja polska): (x, y)@ = z. Obie te notacje są beznawiasowe – umożliwiają zapis wyrażenia algebraicznego bez użycia nawiasów, o ile znane są własności działań.
Dla przykładu, jeżeli umówimy się, że po napotkaniu znaku odejmowania od liczby stojącej bardziej na lewo odejmujemy liczbę stojącą bardziej na prawo, to wyrażenie zapisane wrostkowo jako "2*(4-1)+3", w notacji prefiksowej można zapisać tak: "+ * 2 - 4 1 3" lub tak: "+ 3 * 2 - 4 1", natomiast w notacji postfiksowej tak: "4 1 - 2 * 3 +" lub tak "3 4 1 - 2 * +".
Ogólne własności działań
Interesujące są takie działania, które spełniają pewne dodatkowe warunki. Zazwyczaj wymaga się, by działanie @ w zbiorze A było łączne:
- a @ (b @ c) = (a @ b) @ c dla dowolnych a, b, c z A. Warunek ten umożliwia opuszczanie nawiasów w wyrażeniach typu a @ b @ c @ d...
- a @ b = b @ a dla dowolnych a, b z A.
- a @ e = e @ a = a dla dowolnego a z A.
Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne.
Działania zewnętrzne
Jeżeli dane są dwa zbiory A i B oraz funkcja B × A → A, to w algebrze nazywa się ją często działaniem zewnętrznym. Przykładem takiego działania jest iloczyn wektora przez skalar w przestrzeni liniowej
Zobacz też
Zweistellige Verknüpfung | Binaarne algebraline tehe | Binary operation | Loi de composition interne | פעולה בינארית | Binaire operatie | 二項演算 | Dvočlena operacija | Binär operator
"Działanie dwuargumentowe"