Algebry Boole'a są specjalnym typem struktur algebraicznych rozważanych w matematyce i teoretycznej informatyce. Teoria algebr Boole'a jest poddziałem matematyki na styku teorii porządków częściowych, logiki matematycznej i topologii.

Nazwa algebry Boole'a jest używana dla uhonorowania angielskiego matematyka, filozofa i logika George'a Boole'a i jego wkładu w formalizację i algebraizację logiki.

Definicje i ich konsekwencje

---

Definicja

Algebra Boole'a to struktura algebraiczna $\{\backslash mathbb\; B\}=(B,+,\backslash cdot,\backslash sim,0,1)$ w której "$+$" i "$\backslash cdot$" są działaniami dwuargumentowymi, "$\backslash sim$" jest operacją jednoargumentową, a "0" i "1" są wyróżnionymi różnymi elementami zbioru $B$ oraz taka, że nastepujące warunki są spełnione dla wszystkich $a,b,c\backslash in\; B$:

{| cellpadding=5 $a\; +(b\; +\; c)\; =\; (a\; +\; b)\; +\; c$ $a\; \backslash cdot\; (b\; \backslash cdot\; c)\; =\; (a\; \backslash cdot\; b)\; \backslash cdot\; c$ łączność $a\; +\; b\; =\; b\; +\; a$ $a\; \backslash cdot\; b\; =\; b\; \backslash cdot\; a$ przemienność $a\; +\; (a\; \backslash cdot\; b)\; =\; a$ $a\; \backslash cdot\; (a\; +\; b)\; =\; a$ $a\; +\; (b\; \backslash cdot\; c)\; =\; (a\; +\; b)\; \backslash cdot\; (a\; +\; c)$ $a\; \backslash cdot\; (b\; +\; c)\; =\; (a\; \backslash cdot\; b)\; +\; (a\; \backslash cdot\; c)$ rozdzielność $a\; +\; \backslash sim\; a\; =\; 1$ $a\; \backslash cdot\; \backslash sim\; a\; =\; 0$

Jeśli $\{\backslash mathbb\; B\}=(B,+,\backslash cdot,\backslash sim,0,1)$ jest algebrą Boole'a, to na zbiorze $B$ wprowadza się porządek booleowski $\backslash leq$ przez określenie, że $a\backslash leq\; b$ wtedy i tylko wtedy gdy $a\backslash cdot\; b=a$ (Można sprawdzić że tak zdefiniowana relacja $\backslash leq$ jest porządkiem częściowym na zbiorze $B$.)

Różne systemy oznaczeń

Należy zwrócić uwagę, że istnieją trzy różne tradycje oznaczeń w teorii algebr Boole'a. W definicji sformułowanej powyżej użyliśmy symboli $+,\backslash cdot,\backslash sim$, ale niektórzy badacze używają symboli $\backslash lor,\backslash land,\backslash lnot$ albo $\backslash cup,\backslash cap,-$. Symbole oznaczające operacje dwuczłonowe algebry Boole'a sa zawsze wprowadzane przez wybór jednej z par $(+,\backslash cdot)$, $(\backslash lor,\backslash land)$ albo $(\backslash cup,\backslash cap)$. W oznaczeniach operacji jednoargumentowej algebry istnieje mniejsza konsekwencja i można się spotkać z $+,\backslash cdot,-$ jako symbolami oznaczającymi operacje w algebrze Boole'a, albo z $\backslash lor,\backslash land,\backslash sim$ w tej samej roli.

Bezpośrednie konsekwencje definicji

Niech $\{\backslash mathbb\; B\}=(B,+,\backslash cdot,\backslash sim,0,1)$ będzie algebrą Boole'a.

• Dla wszystkich $a,b\backslash in\; B$ mamy:

{| cellpadding=5 $a\; +\; a\; =\; a$ $a\; \backslash cdot\; a\; =\; a$ $a\; +\; 0\; =\; a$ $a\; \backslash cdot\; 1\; =\; a$ $a\; +\; 1\; =\; 1$ $a\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0$ $\backslash sim\; 0\; =\; 1$ $\backslash sim\; 1\; =\; 0$ $\backslash sim\; (a\; +\; b)\; =\; (\backslash sim\; a)\; \backslash cdot\; (\backslash sim\; b)$ oraz $\backslash sim\; (a\; \backslash cdot\; b)\; =\; (\backslash sim\; a)\; +\; (\backslash sim\; b)$ prawa De Morgana $\backslash sim\; (\backslash sim\; a)\; =\; a$

• Operacje "+" i "$\backslash cdot$" można interpretować jako operacje odpowiednio brania maksimum i miniumum w porządku Booleowskim algebry $\{\backslash mathbb\; B\}$.
• Z pojęciem algebry Boole'a związane jest pojęcie pierścienia Boole'a. Pierścień Boole'a to pierścień przemienny z jedynką w którym $a\backslash cdot\; a=a$ dla każdego elementu $a$. Okazuje się, że jeśli określimy operację różnicy symetrycznej $\backslash oplus$ na zbiorze $B$ przez $a\; \backslash oplus\; b\; =\; (a\backslash cdot\; (\backslash sim\; b))+(b\backslash cdot\; (\backslash sim\; a))$, to wtedy $(B,\backslash oplus,\backslash cdot,0,1)$ jest pierścieniem Boole'a. I na odwrót, jeśli $(B,\backslash oplus,\backslash cdot,0,1)$ jest pierścieniem Boole'a i zdefiniujemy operacje "$+$" i "$\backslash sim$" na $B$ przez $a+b=(a\backslash oplus\; b)\backslash oplus\; (a\backslash cdot\; b)$ i $\backslash sim\; a=1\backslash oplus\; a$, to wtedy $\{\backslash mathbb\; B\}=(B,+,\backslash cdot,\backslash sim,0,1)$ jest algebrą Boole'a.

Minimalna aksjomatyzacja

Algebra Boole'a jest "przedefiniowana", np 0 i 1 można zastąpić przez odpowiednio $(x\; +\; (\backslash sim\; x))$ i $\backslash sim\; (x\; +\; (\backslash sim\; x))$, zaś dzięki prawom de Morgana można wyeliminować "$\backslash cdot$". (W istocie wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym – kreską Scheffera). Standardowa jest jednak powyższa definicja i powyższa aksjomatyka – ze względu na wygodę i zgodność z intuicją.

Można się jednak zapytać: jaki jest minimalny zestaw aksjomatów definiujących algebry Boole'a ?

Przykładowy minimalny zestaw aksjomatów to:

• + jest przemienne,
• + jest łączne,
• aksjomat Huntingtona: $\backslash sim(\backslash sim\; x\; +\; y)\; +\; \backslash sim\; (\backslash sim\; x\; +\; \backslash sim\; y)\; =\; x$.

Inny taki zestaw to:

• + jest przemienne
• + jest łączne
• aksjomat Robbinsa: $\backslash sim(\backslash sim(x\; +\; y)\; +\; \backslash sim(x\; +\; \backslash sim\; y))\; =\; x$

Przykłady algebr Boole'a

---

• Najprostsza algebra Boole'a ma tylko dwa elementy, "0" i "1", a operacje tej algebry są zdefiniowane przez następujące tabele działań:

{|

$\backslash cdot$	0	1
0	0	0
1	0	1

$+$	0	1
0	0	1
1	1	1

a	0	1
$\backslash sim$ a	1	0

• Jeśli $\{\backslash mathcal\; F\}$ jest ciałem podzbiorów zbioru $X$, to $(\{\backslash mathcal\; F\},\backslash cup,\backslash cap,\{\}^\backslash prime,\backslash emptyset,X)$ jest algebrą Boole'a (gdzie $\{\}^\backslash prime$ oznacza operację dopełnienia).
• Niech $\{\backslash mathcal\; Z\}$ będzie zbiorem zdań w rachunku zdań. Wprowadźmy relację dwuargumentową $\backslash equiv$ na zbiorze $\{\backslash mathcal\; Z\}$ przez określenie

$\backslash varphi\backslash equiv\backslash psi$   wtedy i tylko wtedy gdy  $\backslash varphi\backslash Leftrightarrow\backslash psi$ jest tautologią rachunu zdań.

Można sprawdzić, że $\backslash equiv$ jest relacją równoważności na zbiorze $\{\backslash mathcal\; Z\}$. Na zbiorze $X$ wszystkich klas abstrakcji relacji $\backslash equiv$ wprowadźmy operacje $+,\backslash cdot,\backslash sim$ przez następujące formuły:

,   ,   $\backslash sim*\_\backslash equiv=*\_\backslash equiv$.

Pokazuje się, że w ten sposób otrzymujemy poprawnie zdefiniowane operacje na zbiorze $X$ (tzn wynik nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji) oraz że $(X,+,\backslash cdot,\backslash sim,p\_\backslash equiv,p\_\backslash equiv)$ jest algebrą Boole'a. Algebra ta jest nazywana '''algebrą Lindenbauma-Tarskiego.

• Algebry Lindenbauma-Tarskiego rozważa się również dla języków pierwszego rzędu. Niech $\{\backslash bold\; Z\}$ będzie zbiorem zdań w ustalonym alfabecie $\backslash tau$ i niech $T\backslash subseteq\; \{\backslash bold\; Z\}$ będzie niesprzeczną teorią w tym samym języku. Wprowadźmy relację dwuargumentową $\backslash equiv$ na zbiorze $\{\backslash bold\; Z\}$ przez określenie

$\backslash varphi\backslash equiv\backslash psi$   wtedy i tylko wtedy gdy  $T\backslash vdash\backslash varphi\backslash Leftrightarrow\backslash psi$.

Wówczas $\backslash equiv$ jest relacją równoważności na zbiorze $\{\backslash bold\; Z\}$. Podobnie jak wcześniej definujemy

,   ,   $\backslash sim*\_\backslash equiv=*\_\backslash equiv$.

Można pokazać, że $(\{\backslash bold\; Z\}/\backslash equiv,+,\backslash cdot,\backslash sim,\backslash psi\_\backslash equiv,\backslash psi\_\backslash equiv)$ jest algebrą Boole'a.

Przykłady własności rozważanych w teorii algebr Boole'a

---

Niech $\{\backslash mathbb\; B\}=(B,+,\backslash cdot,\backslash sim,0,1)$ będzie algebrą Boole'a.

Ideały, algebry ilorazowe i homomorfizmy

• Niepusty zbiór $I\backslash subseteq\; B$ jest ideałem w algebrze $\{\backslash mathbb\; B\}$ jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

(a)  $\backslash big(\backslash forall\; a,b\backslash in\; I\backslash big)\backslash big(a+b\backslash in\; I\backslash big)$, oraz

(b)  $\backslash big(\backslash forall\; a,b\backslash in\; B\backslash big)\backslash big(b\; \backslash wedge\; b\backslash in\; I\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; a\backslash in\; I\backslash big)$.

• Pojęciem dualnym jest pojęcie filtru: niepusty zbiór $F\backslash subseteq\; B$ jest filtrem w algebrze $\{\backslash mathbb\; B\}$ jeśli:

(a')  $\backslash big(\backslash forall\; a,b\backslash in\; F\backslash big)\backslash big(a\backslash cdot\; b\backslash in\; F\backslash big)$, oraz

(b')  $\backslash big(\backslash forall\; a,b\backslash in\; B\backslash big)\backslash big(b\; \backslash wedge\; a\backslash in\; F\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; b\backslash in\; F\backslash big)$.

• Przypuśćmy, że $I\backslash subseteq\; B$ jest ideałem w algebrze $\{\backslash mathbb\; B\}$. Wprowadźmy relację dwuczłonową $\backslash approx\_I$ na $B$ przez

$a\backslash approx\_I\; b$ wtedy i tylko wtedy gdy $a\backslash cdot\; (\backslash sim\; b)\backslash in\; I$ oraz $b\backslash cdot\; (\backslash sim\; a)\backslash in\; I$.

Wówczas $\backslash approx\_I$ jest relacją równoważności na $B$. Na zbiorze klas abstrakcji $B/\backslash approx\_I$ definiujemy działania $\backslash vee,\backslash wedge,\backslash neg$:

,   $[b\_\{\backslash approx\_I\}=b\_\{\backslash approx\_I\}$,   $\backslash nega\_\{\backslash approx\_I\}$.

Pokazuje się, że powyższe definicje są poprawne (tzn wynik operacji nie zależy od wyboru reprezentantów z klas abstrakcji) oraz że $(B/\_\{\backslash approx\_I\},\backslash vee,\backslash wedge,\backslash neg,*\_\{\backslash approx\_I\},*\_\{\backslash approx\_I\})$ jest algebrą Boole'a. Algebra ta jest nazywana algebrą ilorazową i jest oznaczana przez $\{\backslash mathbb\; B\}/I$.

• Niech $\{\backslash mathbb\; C\}=(C,\backslash oplus,\backslash circ,\backslash neg,0\text{'},1\text{'})$ będzie algebrą Boole'a i niech $h:B\backslash longrightarrow\; C$ będzie funkcją odwzorowującą $B$ w $C$. Mówimy, że funkcja $h$ jest homomorfizmem algebr Boole'a jeśli zachowuje ona działania w algebrze, tzn dla wszystkich $a,b\backslash in\; B$ mamy

$h(a+b)=h(a)\backslash oplus\; h(b),$ $h(a\backslash cdot\; b)=h(a)\backslash circ\; h(b)$  oraz  $h(\backslash sim\; a)=\backslash neg\; h(a)$.

Jeśli dodatkowo $h$ jest bijekcją z $B$ na $C$, to powiemy że funkcja $h$ jest izomorfizmem algebr Boole'a.

• Jeśli $I$ jest ideałem w algebrze $\{\backslash mathbb\; B\}$, to odwzorowanie $a\backslash mapsto*\_\{\backslash approx\_I\}:\{\backslash mathbb\; B\}\backslash longrightarrow\; \{\backslash mathbb\; B\}/I$ jest homomorfizmem.
• Jeśli $\{\backslash mathbb\; C\}=(C,\backslash oplus,\backslash circ,\backslash neg,0\text{'},1\text{'})$ jest algebrą Boole'a oraz $h:B\backslash longrightarrow\; C$ jest homomorfizmem, to $h^\{-1\}(0\text{'})$ jest ideałem w algebrze $\{\backslash mathbb\; B\}$ a algebra ilorazowa $\{\backslash mathbb\; B\}/h^\{-1\}(0\text{'})$ jest izomorficzna z $\{\backslash mathbb\; C\}$.

Wolne algebry Boole'a

Algebra Boole'a $\{\backslash mathbb\; B\}$ jest wolną algebrą Boole'a jeśli dla pewnego zbioru $X\backslash subseteq\; B$ mamy

(i)  jedyną podalgebrą algebry $\{\backslash mathbb\; B\}$ zawierającą zbiór $X$ jest $\{\backslash mathbb\; B\}$, który to warunek jest równoważny stwierdzeniu, że każdy element $a\backslash in\; B$ może być przedstawiony w postaci

$a=(b\_0^0\backslash cdot\; b^0\_1\backslash cdot\backslash ldots\backslash cdot\; b^0\_n)+(b^1\_0\backslash cdot\; b^1\_1\backslash cdot\backslash ldots\backslash cdot\; b^1\_n)+\backslash ldots+(b^m\_0\backslash cdot\; b^m\_1\backslash cdot\backslash ldots\backslash cdot\; b^m\_n)$

dla pewnych $n,m\backslash in\; \{\backslash mathbb\; N\}$ i (niekoniecznie różnych) $b\_0^0,\backslash ldots,b^0\_n,\backslash ldots,b^m\_0,\backslash ldots,\backslash cdot\; b^m\_n\backslash in\; X$, oraz

(ii)  dla każdej algebry Boole'a $\{\backslash mathbb\; C\}=(C,\backslash oplus,\backslash circ,\backslash neg,0\text{'},1\text{'})$ i każdego odwzorowania $f\text{'}:X\backslash longrightarrow\; C$ istnieje homomorfizm $f:B\backslash longrightarrow\; C$ z algebry $\{\backslash mathbb\; B\}$ w algebrę $\{\backslash mathbb\; C\}$ przedłużający $f\text{'}$ (czyli taki, że $f\backslash upharpoonright\; X=f\text{'}$).

Zbiór $X\backslash subseteq\; B$ o własnościach opisanych w (i)+(ii) jest nazywany zbiorem wolnych generatorów algebry $\{\backslash mathbb\; B\}$. Jeśli moc zbioru $X$ jest $\backslash kappa$, to mówimy że $\{\backslash mathbb\; B\}$ jest algebrą wolną z $\backslash kappa$ generatorami.

Skończona algebra Boole'a jest wolna, wtedy i tylko wtedy gdy ma ona $2^\{2^n\}$ elementów (dla $n=1,2,\backslash ldots$). Algebra mocy $2^\{2^n\}$ jest izomorficzna z ciałem wszystkich podzbiorów zbioru z $2^n$ elementami i jako taka ma $n$ wolnych generatorów.

Nieskończona przeliczalna algebra Boole'a jest wolna wtedy i tylko wtedy gdy jest ona bezatomowa, tzn każdy niezerowy element algebry zawiera przynajmniej dwa różne niezerowe elementy algebry. (Inaczej mówiąc, $(\backslash forall\; b\backslash in\; B\backslash setminus\backslash \{0\backslash \})(\backslash exists\; a\backslash in\; B\backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \})(a\backslash leq\; b\backslash \; \backslash wedge\backslash \; a\backslash neq\; b)$.)

Zupełne algebry Boole'a

Ponieważ zdefiniowana wcześniej relacja porządku booleowskiego $\backslash leq$ jest porządkiem częściowym, to dla niepustego zbioru $A\backslash subseteq\; B$ możemy pytać o istnienie kresu górnego czy też kresu dolnego. Kres górny zbioru $A$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\backslash sum\; A$ i bywa nazywany sumą zbioru $A$. Kres dolny zbioru $A$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\backslash prod\; A$ i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru $A$. Warto zauważyć, że jeśli $\backslash emptyset\backslash neq\; A\backslash subseteq\; B$, to

• $b=\backslash sum\; A$ wtedy i tylko wtedy gdy

(*) $(\backslash forall\; a\backslash in\; A)(a\backslash leq\; b)$ oraz

(**)$\backslash big(\backslash forall\; c\backslash leq\; b\backslash big)\backslash big(c\backslash neq\; 0\backslash Rightarrow\; (\backslash exists\; a\backslash in\; A)(a\backslash cdot\; c\backslash neq\; 0)\backslash big)$,

• $b=\backslash prod\; A$ wtedy i tylko wtedy gdy

(*) $(\backslash forall\; a\backslash in\; A)(b\backslash leq\; a)$ oraz

(**)$\backslash big(\backslash forall\; c\backslash neq\; 0\backslash big)\backslash big(c\backslash cdot\; b=0\backslash Rightarrow\; (\backslash exists\; a\backslash in\; A)(c\backslash cdot\; (\backslash sim\; a)\backslash neq\; 0)\backslash big)$,

• zakładając istnienie odpowiednich kresów,

$\backslash sum\; A=\backslash sim\backslash prod\backslash \{\backslash sim\; a:a\backslash in\; A\backslash \}$ oraz $\backslash prod\; A=\backslash sim\backslash sum\backslash \{\backslash sim\; a:a\backslash in\; A\backslash \}.$

Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a $\{\backslash mathbb\; B\}$:

• każdy niepusty podzbiór $\{\backslash mathbb\; B\}$ ma kres górny (tzn sumę),
• każdy niepusty podzbiór $\{\backslash mathbb\; B\}$ ma kres dolny (tzn produkt).

Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek booleowski $\backslash leq$ jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.

NIech $\backslash kappa$ będzie liczbą kardynalną a $\{\backslash mathbb\; B\}$ będzie algebrą Bolole'a. Powiemy że algebra $\{\backslash mathbb\; B\}$ jest $\backslash kappa$-zupełna jeśli każdy niepusty zbiór $A\backslash subseteq\; B$ mocy mniejszej niż $\backslash kappa$ ma kres górny (tzn $\backslash sum\; A$ istnieje ilekroć ). Oczywiście, algebra $\{\backslash mathbb\; B\}$ jest $\backslash kappa$-zupełna wtedy i tylko wtedy gdy każdy niepusty zbiór $A\backslash subseteq\; B$ mocy mniejszej niż $\backslash kappa$ ma kres dolny (tzn $\backslash prod\; A$). Algebry $\backslash aleph\_1$-zupełne są też nazywane algebrami $\backslash sigma$-zupełnymi.

Jeśli $\{\backslash mathcal\; B\}$ jest $\backslash sigma$-ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej (a więc jest to $\backslash sigma$-zupełna algebra Boole'a) oraz $\{\backslash mathcal\; K\}$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\backslash in\; \{\backslash mathcal\; B\}$ które są pierwszej kategorii, to $\{\backslash mathcal\; K\}$ jest ideałem w algebrze $\{\backslash mathcal\; B\}$ i algebra ilorazowa $\{\backslash mathcal\; B\}/\{\backslash mathcal\; K\}$ jest zupełna. Podobnie dla rodziny $\{\backslash mathcal\; L\}$ wszystkich borelowskich zbiorów miary zero.

Funkcje kardynalne

W badaniach i opisach algebr Boole'a często używa się funkcji kardynalnych. Przykładami takich funkcji kardynalnych są następujące funkcje.

• Celularność $c(\{\backslash mathbb\; B\})$ algebry Boole'a $\{\backslash mathbb\; B\}$ jest to supremum mocy antyłańcuchów w $\{\backslash mathbb\; B\}$.
• Długość $\{\backslash rm\; length\}(\{\backslash mathbb\; B\})$ algebry Boole'a $\{\backslash mathbb\; B\}$ to

$\{\backslash rm\; length\}(\{\backslash mathbb\; B\})=\backslash sup\backslash big\backslash \{|A|:A\backslash subseteq\; \{\backslash mathbb\; B\}$ jest łańcuchem $\backslash big\backslash \}$

• Głębokość $\{\backslash rm\; depth\}(\{\backslash mathbb\; B\})$ algebry Boole'a $\{\backslash mathbb\; B\}$ to

$\{\backslash rm\; depth\}(\{\backslash mathbb\; B\})=\backslash sup\backslash big\backslash \{\; |A|:A\backslash subseteq\; \{\backslash mathbb\; B\}$ jest dobrze uporządkowanym łańcuchem $\backslash big\backslash \}$.

• Nieporównywalność $\{\backslash rm\; Inc\}(\{\backslash mathbb\; B\})$ algebry Boole'a $\{\backslash mathbb\; B\}$ to

$\{\backslash rm\; Inc\}(\{\backslash mathbb\; B\})=\backslash sup\backslash big\backslash \{\; |A|:A\backslash subseteq\; \{\backslash mathbb\; B\}$ oraz $\backslash big(\backslash forall\; a,b\backslash in\; A\backslash big)\backslash big(a\backslash neq\; b\backslash \; \backslash Rightarrow\; \backslash neg\; (a\backslash leq\; b\backslash \; \backslash vee\; \backslash \; b\backslash leq\; a)\backslash big)\backslash big\backslash \}$.

• Pseudo-cieżar $\backslash pi(\{\backslash mathbb\; B\})$ algebry Boole'a $\{\backslash mathbb\; B\}$ to

$\backslash pi(\{\backslash mathbb\; B\})=\backslash min\backslash big\backslash \{\; |A|:A\backslash subseteq\; \{\backslash mathbb\; B\}\backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$ oraz $\backslash big(\backslash forall\; b\backslash in\; B\backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}\backslash big)\backslash big(\backslash exists\; a\backslash in\; A\backslash big)\backslash big(a\backslash leq\; b\backslash big)\backslash big\backslash \}$.

Reprezentacja algebr Boole'a

---

Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a mówi, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole'a $\{\backslash mathbb\; B\}$ jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na $\{\backslash mathbb\; B\}$ (tzw przestrzeni Stone'a algebry $\{\backslash mathbb\; B\}$). Twierdzenie Stone'a nie może być udowodnione przy użyciu tylko ZF - wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole'a do ideałów pierwszych).

Zobacz też

---

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• funkcja boolowska,
• ciało zbiorów,
• twierdzenie Stone'a,
• George Boole.

Logika | Teoria mnogości

Булева алгебра | বুলিয়ান বীজগণিত | Àlgebra de Boole | Booleova algebra | Boolesche Algebra | Boolean algebra | Álgebra de Boole | جبر بولی | Algèbre de Boole (logique) | Álxebra de Boole | Booleova algebra | Booleana algebro | Aljabar Boolean | Algebra di Boole | אלגברה בוליאנית | Būlio algebra | Booleaanse algebra | ブール代数 | Álgebra booleana | Булева алгебра | Boolean algebra | Booleova algebra | Булова алгебра | Boolesk algebra | พีชคณิตแบบบูล | Boole cebiri | Булева алгебра | 布尔代数