Neutraal element

Neutraal element is een begrip uit de wiskunde, meer bepaald uit de abstracte algebra. Een neutraal element wordt ook wel eenheidselement genoemd. Een neutraal element in een magma $(V,*)$ , is een element e ∈ V met de eigenschap dat voor elke a ∈ V geldt:

a * e = a = e * a\,

Daaraan zien we waarom van neutraal element wordt gesproken, want bij bewerking met een neutraal element verandert er niets, het element e gedraagt zich neutraal.

Men zou zich kunnen afvragen of het niet voldoende zou zijn slechts een van de gelijkheden te eisen. Door echter beide gelijkheden te eisen, is gegarandeerd dat ook als de bewerking $*$ niet commutatief is, er slechts één neutraal element is. Stel namelijk dat $e_1$ en $e_2$ beide neutraal element zijn. Dan volgt direct:

e_2 * e_1 = e_2

e_1= e_2 * e_1

dus

e_2 = e_2 * e_1 = e_1

Notatieconventie

Indien men een additieve notatie gebruikt, noteert men het neutraal element met 0.
Indien men een multiplicatieve notatie gebruikt, noteert men het neutraal element met 1.

Voorbeelden

In de verzameling van de rationale getallen met de bewerking optellen is 0 het neutrale element.

Voorbeeld:

4.27 + 0 = 4.27\mathfrak{}

In de verzameling van de gehele getallen met de bewerking vermenigvuldigen is 1 het neutrale element.

Voorbeeld:

6 \cdot 1 = 6

In de verzameling van de m x n matrices met de bewerking matrix-optelling is de m x n nulmatrix (geheel gevuld met nullen) het neutrale element.

Voorbeeld:

\begin{bmatrix}4&-1&0\\2&1&5\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4&-1&0\\2&1&5\end{bmatrix}

In de verzameling van de (vierkante) n × n matrices en de bewerking matrix-vermenigvuldiging is de eenheidsmatrix het neutrale element.

Voorbeeld:

\begin{bmatrix}5&2\\3&-4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5&2\\3&-4\end{bmatrix}

In de verzameling van de even getallen met bewerking vermenigvuldigen bestaat er géén neutraal element.

Zie ook

Lineaire algebra | Getaltheorie | Groepentheorie | Rekenen

Gourt Home::Gourt :: Neutraal element

Notatieconventie

Voorbeelden

Zie ook