In de wiskunde is een lineaire afbeelding ruwweg een afbeelding die de lineaire combinaties bewaart. Deze afbeeldingen vertonen interessante eigenschappen en ze spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra van vectorruimten of modulen.

Definities

---

Een afbeelding $f\; :\; V\; \backslash to\; W$, waarbij V en W vectorruimten over een lichaam (Ned. term; in België: veld) K zijn, noemen we lineair als voor elk paar x en y uit V, en elk element $\backslash lambda$ uit K:

$f(x+y)=f(x)+f(y)\; \backslash quad\{\}$

$f(\; \backslash lambda\; x)=\; \backslash lambda\; f(x)\; \backslash quad\{\}$

Men zou dit informeel kunnen verwoorden als volgt: "Het beeld van de som is de som van de beelden." en "Het beeld van het product van een scalair met een vector is het product van de scalair met het beeld van die vector."

Zolang we niet uitdrukkelijk gebruik maken van de omkeerbaarheid van scalairen, gaat bovenstaande definitie naadloos over naar algemenere lineaire afbeeldingen tussen modulen over een commutatieve ring. De theorie blijft een tijdlang analoog, behalve dat niet ieder moduul een basis heeft (nodig voor o.m. de dimensiestelling).

Bij een niet-commutatieve ring kan men eventueel spreken van een links-lineaire afbeelding tussen linkermodulen.

Combineren van lineaire afbeeldingen

---

Zoals gezegd, komen lineaire afbeeldingen typisch voor bij vectorruimten. Bovendien zal de verzameling van alle lineaire afbeeldingen van een vaste vectorruimte V naar een vaste vectorruimte W ook een vectorruimte zijn met een geschikte optelling, en vermenigvuldiging met een scalair:

Zij f en g twee lineaire afbeeldingen tussen de K-vectorruimten V en W. Dan definiëren we de som van f en g, "f + g" als de lineaire afbeelding die aan elk element uit V, de som van de beelden onder f en g teruggeeft:

$f+g\; :\; V\; \backslash to\; W\; :\; x\; \backslash mapsto\; f(x)\; +\; g(x)$

Analoog definiëren we voor een willekeurig element $\backslash lambda$ uit K,

$\backslash lambda\; f\; :\; V\; \backslash to\; W\; :\; x\; \backslash mapsto\; \backslash lambda\; f(x)$

Beschouw anderzijds de lineaire afbeeldingen $f\; :\; V\; \backslash to\; W$ en $g\; :\; W\; \backslash to\; U$. Dan is ook de samenstelling een lineaire afbeelding

$g\; o\; f\; :\; V\; \backslash to\; U\; :\; x\; \backslash mapsto\; g(f(x))$

Het is duidelijk dat deze nieuwverkregen afbeeldingen inderdaad lineair zijn.

Nulruimte en beeldruimte

---

De nulruimte N_f of kern van een lineaire afbeelding f is de verzameling van alle vectoren die door f op de nulvector worden afgebeeld. Het beeld van het domein van f heet de beeldruimte B_f van f. De formele definities zijn:

Van de lineaire afbeelding $f:\; V\; \backslash to\; W$ noemen we de verzameling:

$N\_\{f\}\; =\; \backslash \{\; \backslash vec\{v\}\; \backslash in\; V\; |\; f\; \backslash vec\{v\}\; =\; 0\; \backslash \}$

de nulruimte $N\_f$

en het beeld van V de beeldruimte:

$B\_\{f\}\; =\; \backslash \{\; f\backslash vec\{v\}\; \backslash in\; W\; |\; \backslash vec\{v\}\; \backslash in\; V\; \backslash \}$.

Voorbeelden

---

Voorbeeld 1

De identieke afbeelding is lineair. De projectie op een vector is lineair. Lineaire afbeeldingen over eindigdimensionale vectorruimten kunnen door een matrix worden voorgesteld, en omgekeerd kan men met elke eindigdimensionale matrix een lineaire afbeelding associëren.

Voorbeeld 2

De afbeelding $D\; :\; C^1\; \backslash to\; C^0\; :\; f\; \backslash mapsto\; f\text{'}$ die een differentieerbare functie afbeeldt op haar afgeleide, is een lineaire afbeelding. Hierbij zijn $C^0,\; C^1$ respectievelijk de verzamelingen van functies en van alle functies die minstens één keer differentieerbaar zijn.

Voorbeeld 3

De afbeelding $f\; :\; \backslash mathbb\{R\}^2\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^2\; :\; (x,y)\; \backslash mapsto\; (x+y,2x+3y)$, is lineair. Dit volgt onmiddellijk uit de definitie van som en vermenigvuldiging met een scalair.

Voorbeeld 4

De afbeelding $f:\backslash mathbb\{Z\}\backslash times\backslash mathbb\{Z\}\backslash to\backslash mathbb\{Z\}:(x,y)\backslash mapsto\; 3x+6y$ is een lineaire afbeelding tussen twee modulen over de ring $\backslash mathbb\{Z\}$. De kern van deze afbeelding is het $\backslash mathbb\{Z\}$-moduul dat bestaat uit alle gehele getallenkoppels van de vorm $(2z,-z)$. Het beeld is $3\backslash mathbb\{Z\}$, de verzameling van alle drievouden.

Algemener kan elke abelse groep worden opgevat als een $\backslash mathbb\{Z\}$-moduul, en elk groepsisomorfisme tussen abelse groepen wordt een lineaire afbeelding.

Eigenschappen

---

De dimensiestelling: Zij $f\; :\; V\; \backslash to\; W$ een lineaire afbeelding tussen eindigdimensionale vectorruimten. Dan zal

$\backslash dim(Ker(f))\; +\; \backslash dim(Im(f))\; =\; \backslash dim\; V\backslash quad\{\}$,

waarbij Im(f) het beeld en Ker(f) de kern van f is.

nog aan te vullen

Lineaire algebra