Een ellipsoïde is een kwadratisch oppervlak met drie loodrechte symmetrieassen. Het is een omwentelingsfiguur van een ellips.

De relatie die een ellipsoïde in het Cartesisch coördinatenstelsel beschrijft is:

$$

{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1 Waarin a, b en c de vorm van de ellipsoïde vastlegt. Wanneer a = b = c geldt dan betreft het een bol.

Als we stellen a ≥ b ≥ c, dan geldt voor:

• a ≠ b ≠ c levert een ongelijke ellipsoïde
• c = 0 levert een platte ellips
• b = c levert een prolate sferoïde (sigaarvormig)
• a = b levert een oblate sferoïde (pilvormig)
• a = b = c levert een bol.

Elke ellipsoïde kan worden gevormd door een bol in een of twee richtingen (langs orthogonale assen) te verschalen.

Parametervergelijking

Constructie ellipsoïde.gif (zwart) rond zijn grote as (oranje)]]

De volgende parametervergelijking stelt een ellips in het xy-vlak voor: $\backslash cos(\backslash theta),b\; \backslash sin(\backslash theta),0\backslash frac\{\}\{\}$ ($\backslash theta$ van 0 tot $2\; \backslash pi$), na rotatie rond bijv. de x-as wordt de parametervergelijking $*\backslash frac\{\}\{\}$, ($\backslash theta$ en $\backslash phi$ van 0 tot $2\; \backslash pi$) Hiermee kan een prolate of oblate ellipsoïde worden geconstrueerd, maar niet een ongelijke.

Volume

Het volume van een ellipsoïde eenvoudig te berekenen met de relatie:

$V\; =\; \backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash pi\; abc$

Oppervlakte

De oppervlakte is een stuk lastiger om te berekenen. Analytische afleiding geeft:

$A\; =\; 2\; \backslash pi\; \backslash left(c^2\; +\; \backslash frac\{bc^2\}\{\backslash sqrt\{a^2-c^2\}\}\; F(\backslash theta,\; m)\; +\; b\backslash sqrt\{a^2-c^2\}\; E(\backslash theta,\; m)\; \backslash right)$

waarvoor geldt:

$m\; =\; \backslash frac\{a^2(b^2-c^2)\}\{b^2(a^2-c^2)\}$

$\backslash theta\; =\; \backslash arcsin\{\backslash left(e\; \backslash right)\}$

$e\; =\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash frac\{c^2\}\{a^2\}\}$

en $F(\backslash theta,\; m)$ en $E(\backslash theta,\; m)$ zijn onvolledige elliptische integralen van de eerste en tweede orde.

Bij benadering levert dit de volgende relaties op:

platte Ellips: $=\; 2\; \backslash pi\; \backslash left(ab\; \backslash right)$

prolate ellipsoïde $\backslash approx\; 2\; \backslash pi\; \backslash left(c^2\; +\; ac\; \backslash frac\{\backslash arcsin\{\backslash left(e\; \backslash right)\}\}\{e\}\; \backslash right)$

oblate ellipsoïde: $\backslash approx\; 2\; \backslash pi\; \backslash left(a^2\; +\; c^2\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{arctanh\}\{\backslash left(e\; \backslash right)\}\}\{e\}\; \backslash right)$

ongelijke ellipsoïde: $\backslash approx\; 4\; \backslash pi\; \backslash left(\; \backslash frac\{\; a^p\; b^p\; +\; a^p\; c^p\; +\; b^p\; c^p\; \}\{3\}\; \backslash right)^\{1/p\}$

Voor p ≈ 1,6075 geeft dit een relatieve fout van maximaal 1,061% (Knud Thomsen's formule); een waarden van p = 8/5 = 1,6 is optimaal voor bijna sferische ellipsoïden, met een relatieve fout van maximaal 1,178% (David W. Cantrell's formule).

Zie ook:

• Hyperboloïde
• Paraboloïde

Ruimtelijk figuur

سطح ناقص | Elipsoid | Ellipsoid | Ellipsoid | Elipsoide | Ellipsoidi | Ellipsoïde | Ellissoide | Elipsoida | Elipsóide | Эллипсоид | Ellipsoid | ทรงรี | Elipsoit