Wet van Snellius

De Wet van Snellius, genoemd naar de Nederlandse wis- en sterrenkundige Willebrord Snell, is een natuurwet uit de optica die aangeeft hoe lichtstralen gebroken worden op de overgang van het ene medium naar het andere (bijv. lucht en glas) en geeft daarmee een definitie voor de brekingsindex n. Deze wet is een gevolg van het principe van Fermat, die stelt dat het licht de snelste weg tussen twee punten aflegt. Het scheidingsoppervlak tussen 2 media waarvan de brekingsindex verschillend is, noemt men een diopter.

Wet van snelli.png

Wanneer een lichtstraal in een medium met optische dichtheid n1 onder een hoek θ₁ invalt in een medium met optische dichtheid n2'', zal voor de uittreedhoek θ₂ ten gevolge van de breking t.o.v. de normaal die op het grensvlak tussen de twee media optreedt, gelden:

n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2)

Toepassing

Een toepassing van de Wet van Snellius is het feit dat men de zon altijd in een hogere stand ziet dan haar werkelijke positie. Op die manier kan men bij zonsondergang nog altijd de zon zien. Dit is te verklaren op de volgende manier. De atmosfeer is in feite geen homogeen medium; de soortelijke massa daalt als de hoogte toeneemt en men kan aantonen dat de brekingsindex een stijgende functie is van de soortelijke massa, dus op grotere hoogte heeft men een kleinere brekingsindex. Het gevolg daarvan is dat de zonnestralen gekromde stralen zijn die gekromd zijn naar de hoogste waarde van n toe. Men kan de kromming van de zonnestralen ook terugvinden door de atmosfeer in te delen in opeenvolgende homogene luchtlagen en de Wet van Snellius toe te passen op ieder diopter tussen 2 opeenvolgende lagen.

Een andere toepassing van de wet is bij akoestische metingen onder water (zie hydrografie). Licht of elektromagnetische golven dringen maar zeer slecht door in het water, vandaar de keuze voor geluid. Een gemiddelde geluidssnelheid van ongeveer 1500 m/s varieert met +/- 6% als gevolg van variaties van temperatuur en zoutgehalte. Als er veel regen valt, dan stroomt er veel zoet water in zee, en zal de geluidssnelheid aan het zeeoppervlak lager zijn dan bij droog weer. Daarna treedt al gauw weer menging op. Er treedt een zekere horizontale gelaagdheid op van lagen met min of meer gelijke geluidssnelheid. Als een geluidsignaal schuin door deze lagen loopt, treedt er breking op volgens de wet van Snellius. Om afstanden en hoeken juist te schatten, dienen de metingen hiervoor gecorrigeerd te worden.

Intuïtief

Intuïtief_wet_van_snellius.png De snelheid in het glas en de lucht is niet gelijk. Het principe van Fermat stelt dat de licht de snelste route neemt.

Vergelijk het met twee zwemmers die zo snel mogelijk een boei in zee moeten bereiken. Iemand die snel op het strand is, maar in het water trager dan zijn concurrent, zal zoveel mogelijk afstand op het strand afleggen (strategie 2). De zwemmer die het snelst zwemt, maar trager is op het strand, legt zo weinig mogelijk afstand op het strand af (strategie 1).

De voor iedere loper snelste baan (afh. van de snelheid op het strand en in de zee) voldoet aan de wet van Snellius.

Straalbuiging

Bij de grenslaag tussen twee waterlagen met verschillende dichtheden, dus verschillende snelheden, zal volgens de wet van Snellius breking optreden. De weg van het signaal is daardoor niet recht maar gebogen. Aan de hand van dit voorbeeld zal dit verduidelijkt worden.

Stel de waterdiepte iss 1000 m. denk deze diepte opgebouwd uit 1000 lagen van elk 1 m dik. De snelheid in de onderste laag is 1550 m/s en neemt per laag af met 0,1 m/s. de snelheid in de bovenste laag is dan 1450 m/s. op de bodem bevindt zich een geluidsbron die onder een hoek van 45 graden een geluidspuls uitzendt. Deze puls bereikt het wateroppervlak in O.

(hier komt afbeelding)

In deze figuur geldt $v_1 = 1550$ m/s, $v_2$ = 1549,9 m/s, enzovoort tot $v_{1000}$ = 1450 m/s

Met $\theta_1$ = 45 graden volgt $\theta_2$ uit:

$\frac{\sin(\theta_1)}{v_1}=\frac{\sin(\theta_2)}{v_2}$ =…..= constant = a of i₂ = 44,9963 graden

Op deze manier vindt je i1000 = 41,4134 graden

Je berekent de door de geluidspuls in de diverse lagen afgelegde weg met :

$L_n=\frac{1}{\cos(\theta_i)}$ met n = 1 t/m 1000, en krijg je voor de totale lengte L = 1371,721 m

De horizontale projectie x van de afgelegde weg per laag volgt uit

$x_n = \tan \theta_n$

voor de totale horizontale afstand tussen Z en O krijg je X = 939,223 m

vervolgens moet je de totale looptijd van de geluidspuls berekenen door

$t_n = \frac{L_n}{v_n}$ ,

zodat de totale looptijd $Z_tot$ = 0,9148275 seconde is en met wat algebra kom je dan voor de volgende formules voor de looptijd T:

$T = \frac{1}{g} \ln(0,5 \frac{\theta_1}{0,5 \theta_{1000}})$

Voor de kromtestraal van het traject:

$R = \frac{1}{a g}$

Met:

g = de geluidsnelheidsgradient (veranderingen met de diepte per seconde) a = de straalbuigingsconstante

voor de horizontale afstand

$X = R (\cos \theta_{1000}-\cos \theta_1)$ , a volgt uit de brekingswet van Snellius en bedraagt in het voorbeeld:

a = 0,00045620 s/m

T = 0,9148180 s

R = 21920 m

X = 939,3 m

De werkelijk gemeten looptijd van de puls is 0,9148275 s. vermenigvuldigd met de gemiddelde snelheid 1500 m/s levert dit de afstand 1372.27 m. de afstand via een rechte lijn tussen Z en O is 1371,91m.

Met deze afstand werken de akoestische plaatsbepalingsystemen.

Fouten ten gevolge van straalbuiging zijn vaak te verwaarlozen, zoals in dit voorbeeld, maar er zijn wel degelijke omstandigheden, waar je met dit probleem rekening moet houden. Denk hierbij vooral aan de toepassing van padloders (multibeam echo sounders) in water van enige diepte met een grote snelheidsgradiënt.

Ook landmeters kennen dit probleem. De precieze grootte van de zgn. refractie is moeilijk te bepalen. De precieze grootte van de fout stijgt kwadratisch, net als de fout door de aardkromming.

Externe links

Natuurkundige wet | Optica

Gourt Home::Gourt :: Wet van Snellius

Toepassing

Intuïtief

Straalbuiging

Externe links