Verzameling (wiskunde)

In de wiskunde is een verzameling een basisbegrip dat zich niet laat definiëren in termen van andere begrippen, maar axiomatisch vastgelegd wordt. Cantor, de grondlegger van de verzamelingenleer noemde een verzameling informeel: een veelheid beschouwd als een, de totaliteit van in bepaalde zin bij elkaar behorende elementen. Twee verzamelingen zijn identiek, wanneer ze dezelfde elementen bevatten.

Voorbeelden

In het dagelijkse spraakgebruik maken we ook gebruik van het begrip verzameling: we spreken van bestek als we (de verzameling van) lepels, vorken en messen bedoelen. Het servies van oma is een verzameling borden, schalen enz. Een pak speelkaarten is een ander woord voor een verzameling speelkaarten. In de wiskunde kennen we de verzameling van de natuurlijke getallen: {0,1,2,3,4,...}, een totaliteit met als elementen de getallen 0, 1, 2, 3, 4, enz.

Algemeen

Hier geven we alleen een globaal overzicht van het concept verzameling. Dit overzicht is er op gericht om met verzamelingen te kunnen werken, en de belangrijke begrippen als afbeeldingen, functies, getallen en relaties te kunnen definiëren.

Voor een samenvatting van de notatie, zie: Symbolen uit de verzamelingenleer.

Voor een algemene bespreking van de verzamelingenleer, zoals ontwikkeld door Georg Cantor, zie verzamelingenleer. Voor een bespreking van de axiomatische verzamelingenleer zoals deze ontwikkeld is door Zermelo-Fraenkel, zie onder formele verzamelingenleer.

Definitie

Een formele definitie kan hier niet gegeven worden. We volstaan ermee dat een verzameling bepaald wordt door zijn elementen. Deze elementen kunnen van alles zijn: getallen, andere verzamelingen, mensen, grassprieten.... Zo is bijvoorbeeld 4 een element van de verzameling der gehele getallen. Wanneer x een element is van de verzameling A, schrijven we x ∈ A.

Een verzameling kan gegeven worden door opsomming van zijn elementen. De verzameling wordt aangeduid door accolades rondom de opgesomde elementen te schrijven:

{rood, geel, blauw}

Een verzameling kan ook gegeven worden door beschrijving van z'n elementen. De bovengenoemde verzameling wordt dan als volgt aaangeduid:

{x : x is een primaire kleur};

gelezen als: de verzameling van elementen x waarvoor geldt dat x een primaire kleur is.

Eigenschappen

We noemen twee verzamelingen gelijk wanneer ze dezelfde elementen bevatten. Formeel: A = B ↔ ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B)
Dat twee verzamelingen A en B gelijk zijn noteren we als A=B.

Het aantal elementen van een verzameling wordt de cardinaliteit van de verzameling genoemd.

De verzameling A wordt een deelverzameling van de verzameling B genoemd, als elk element van A ook element is van B (notatie: A ⊆ B). Iedere verzameling heeft als deelverzamelingen zichzelf (oneigenlijke deelverzameling) en de lege verzameling {}, meestal aangeduid door ∅.

Twee deelverzamelingen A en B worden disjunct genoemd wanneer zij geen gemeenschappelijke elementen hebben; hun doorsnede is dan leeg (de lege verzameling).

Operaties

De vereniging van twee verzamelingen A en B wordt gevormd door de elementen die in A of in B (of in beide) zitten. Notatie : A∪B.
De doorsnede van twee verzamelingen A en B wordt gevormd door de verzameling van gemeenschappelijke elementen, dus alle elementen die zowel in A als in B zitten. Notatie : A∩B.

Een verzameling zal een deel zijn van het Universum U, waarmee in dit verband wordt bedoeld de verzameling met alle mogelijke elementen. Het complement A' van een verzameling A is dan de verzameling van alle elementen in U die niet in A zitten, notatie: A' = {x: x ∈ U ∧ x ∉ A}. A' wordt ook wel als de complementaire verzameling, kortweg het complement van A aangeduid.

We kunnen nu opmerken dat:

Eigenschap

Doorsnede

Vereniging

Commutatief

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

Associatief

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

Er is een 0/1 element

A ∩ ∅ = ∅

A ∪ U = U

Distributief

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Een partitie is een opdeling van een verzameling in niet lege, onderling disjuncte, deelverzamelingen, die wel blokken worden genoemd. Bijvoorbeeld: Als A={1,2,3,4,5,6,7,8}, dan is { {1,3}, {2,4,5,7}, {6,8} } een partitie van A met drie blokken.

Wanneer A een verzameling is, noemen we de verzameling van alle deelverzamelingen de machtsverzameling van A, notatie P(A) of 2^A.

Om wat vooruit te lopen: de deelverzamelingen van een gegeven verzameling vormen samen een booleaanse algebra onder deze operatoren.

Bekende verzamelingen

Voorbeelden van verzamelingen getallen zijn:

Natuurlijke getallen worden gebruikt om het aantal elementen van een verzameling aan te geven.
Gehele getallen verschijnen als oplossingen van vergelijkingen als x + a = b. Ze bevatten dus de natuurlijke getallen en de negatieve getallen.
Rationale getallen verschijnen als oplossing van vergelijkingen als a + bx = c. Zij bestaan dus uit de gehele getallen en de breuken.
Algebraïsche getallen verschijnen als oplossingen van polynomen.
Reële getallen, waaronder ook de Transcendente getallen vallen.
Complexe getallen verschijnen als oplossing van vergelijkingen als x² + 1 = 0.

Venn-diagrammen

Venn-diagrammen, genoemd naar John Venn, vormen een illustratie van eigenschappen van verzamelingen.

VenAenB.jpg

De verzamelingen A en B zijn onderdeel van het Universum U. De twee verzamelingen hebben een niet lege doorsnede, dus ze hebben minstens één element gemeenschappelijk. Dit is in het bruin gekleurde vlak aangegeven.

VenAenBenC.jpg

De verzameling A ligt geheel binnen B, dus A is een deelverzameling van B, A ⊂ B. Verzameling C is disjunct met B en daarmee disjunct met A.

Eigenschappen van en stellingen over verzamelingen

Enkele eenvoudige stellingen over verzamelingen:

Stelling 1: Gegeven drie verzamelingen A, B en C, dan geldt dat als A een deelverzameling is van B en B is een deelverzameling van C, dan is A een deelverzameling van C.
Stelling 2: Twee verzamelingen A en B zijn gelijk dan en slechts dan als A een deelverzameling van B is en B een deelverzameling is van A.
Stelling 3: De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling.

Definitie: A - B = {x: x ∈ A ∧ x ∉ B} - (Het complement van B m.b.t. A).

De wetten van De Morgan luiden:

(A ∪ B)' = A' ∩ B '
(A ∩ B)' = A' ∪ B '
A - (B ∪ C) = (A - B) ∩ (A - C)
A - (B ∩ C) = (A - B) ∪ (A - C)

Modellering

Men dient voorzichtig te zijn met verbale beschrijvingen van verzamelingen, omdat deze gemakkelijk tot paradoxen kunnen leiden. De axiomatische verzamelingenleer is geconstrueerd om deze paradoxen te vermijden.

Bijvoorbeeld: Laten we een verzameling "goed gemodelleerd" noemen wanneer het niet zichzelf als element bevat. Laat S de verzameling van alle goed gemodelleerde verzamelingen zijn. Is S goed gemodelleerd? Hierop is geen antwoord mogelijk, dit wordt de paradox van Russell genoemd. In de axiomatische verzamelingenleer kan een verzameling niet zichzelf als element hebben.

Relaties met andere takken van de wiskunde

Vrijwel alle andere takken van de wiskunde worden gebaseerd op de verzamelingenleer. Zo wordt bijvoorbeeld kansrekening (waarschijnlijkheidsrekening) bedreven op basis van verzamelingenleer. Ook andere elementaire begrippen in de wiskunde, zoals functies worden gedefinieerd in termen van verzamelingen. Hierbij wordt gebruik gemaakt van het Cartesisch product.

Zie ook: bovengrens

Zie ook

Verzamelingenleer

Gourt Home::Gourt :: Verzameling (wiskunde)