Simpsons paradox is een paradox uit de statistiek, genoemd naar de statisticus E. H. Simpson, die in 1951 daar voor het eerst over publiceerde. De paradox kan het beste gedemonstreerd worden met een voorbeeld.

In twee ziekenhuizen, een academisch (AZ) en een plaatselijk ziekenhuis (PZ) worden operaties verricht. De meeste van deze operaties zijn succesvol (+), maar in sommige gevallen is er niet het gewenste effect (-). In de volgende tabel staan de aantallen operaties van het vorige kalenderjaar uitgesplitst.

-

ziekenhuis

+

-

totaal

-

-

AZ

2110

90

2200

-

PZ

677

23

700

-

-

totaal

2787

113

2900

We zijn nu geneigd te concluderen dat het PZ een betere score heeft dan het AZ, immers de fracties succes bedragen voor

AZ:     $\backslash frac\{2110\}\{2200\}\; =\; 0,959$

PZ:      $\backslash frac\{\; 677\}\{\; 700\}\; =\; 0,967$

Maar is die conclusie wel terecht? We maken nog een onderscheid tussen lichte (L) en zware (Z) operaties. Bekend is namelijk dat het AZ meer met zware, meer risicovolle operaties geconfronteerd wordt dan het PZ.

Voor de lichte operaties zijn de aantallen:

-

ziekenhuis

+

-

totaal

-

-

AZ

685

15

700

-

PZ

584

16

600

-

-

totaal

1269

31

1300

De fracties succes bedragen voor de lichte operaties dus voor:

AZ:     $\backslash frac\{685\}\{700\}\; =\; 0,9786$

PZ:     $\backslash frac\{584\}\{600\}\; =\; 0,9733$

Nu blijkt dat voor de lichte operaties het AZ beter scoort dan het PZ. Je denkt dan misschien dat voor de zware gevallen dat wel anders zal zijn.

Echter, voor de zware operaties zijn de aantallen:

-

ziekenhuis

+

-

totaal

-

-

AZ

1425

75

1500

-

PZ

93

7

100

-

-

totaal

1518

82

1600

De fracties succes bedragen voor de zware operaties dus voor:

AZ:     $\backslash frac\{1425\}\{1500\}\; =\; 0,95$

PZ:       $\backslash frac\{\; 93\}\{\; 100\}\; =\; 0,93$

Dus ook voor de zware operaties scoort het AZ beter.

Dit klinkt paradoxaal en de verklaring moeten we zoeken in wat boven al is aangegeven. Het AZ wordt meer met zware operaties geconfronteerd dan het PZ. De volgende tabel geeft de verdeling van de operaties over de beide ziekenhuizen:

-

ziekenhuis

Z

L

totaal

-

-

AZ

1500

700

2200

-

PZ

100

600

700

-

-

totaal

1600

1300

2900

De fracties zware operaties bedragen voor:

AZ:     $\backslash frac\{1500\}\{2200\}\; =\; 0,68$

PZ:      $\backslash frac\{\; 100\}\{\; 700\}\; =\; 0,14$

We kunnen nu voor de successcore terugrekenen:

AZ:   $\backslash frac\{2100\}\{2200\}=\backslash frac\{1425\}\{1500\}\backslash times\; \backslash frac\{1500\}\{2200\}+\backslash frac\{685\}\{700\}\backslash times\; \backslash frac\{700\}\{2200\}$

PZ:   $\backslash frac\{677\}\{700\}=\backslash frac\{93\}\{100\}\backslash times\; \backslash frac\{100\}\{700\}+\backslash frac\{584\}\{600\}\backslash times\; \backslash frac\{600\}\{700\}$

anders geschreven:

AZ:  $0,959=0,95\backslash times\; 0.6818+0,979\; \backslash times\; (1-0,6818)$

PZ:  $0,967=0,93\backslash times\; 0.1428+0,973\; \backslash times\; (1-0,1429)$

We zien dat hoewel het AZ zowel voor de zware (0,950 tegen 0,930) als de lichte (0,979 tegen 0,973) operaties beter scoort dan het PZ, door het grotere aantal zware operaties (68%) bij het AZ de overall score (0,959) meer bepaald wordt door de lagere prestatie (0,95) voor de zware operaties en bij het PZ , waar veel minder zware operaties worden gedaan (14%) de overall score (0,967) vooral bepaald wordt door de prestatie (0,973) voor de lichte operaties.

Literatuur

---

Simpson, E. H. (1951), "The Interpretation of Interaction in Contingency Tables," Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B, 13, 238-241

Statistiek | Paradox

Simpson-Paradoxon | Simpson's paradox | Paradoja de Simpson | Paradoxe de Simpson | Paradosso di Simpson | シンプソンのパラドックス | Paradoks Simpson | 辛普森悖论