Definitie

---

Een permutatie is een van de mogelijke manieren om een aantal voorwerpen of getallen te rangschikken. Abstracter gezien is het een bijectie tussen een verzameling en zichzelf.

Voorbeelden

De identieke permutatie is de oorspronkelijke rangschikking, of ook nog, de bijectie die ieder element op zichzelf afbeeldt.

Een verwisseling is een permutatie die slechts van de identieke permutatie afwijkt in twee elementen (die elkaars plaats innemen).

Gebruik

Een permutatie wordt onder andere toegepast in de telecommunicatie om informatie te spreiden over tijd en/of frequentie zodat foutcorrectiecodes, die slecht kunnen omgaan met opeenvolgende fouten, beter werken. Zo'n permutatie wordt gespecificeerd door een permutatieformule.

Aantal mogelijke permutaties

---

Het aantal mogelijke permutaties van n unieke elementen wordt genoteerd als n! (lees: n faculteit). Met behulp van de recursierelatie

$n!\; =\; n(n-1)!\backslash !$

en

$0!\; =\; 1\backslash !$

kan n! berekend worden voor willekeurige n.

Soms wordt ook een variatie als permutatie aangeduid.

Permutatiegroep

---

Twee permutaties $\backslash pi\_1$ en $\backslash pi\_2$ op een verzameling $A$ kunnen worden samengesteld. De samengestelde relatie $\backslash pi\_2\backslash circ\backslash pi\_1$ is opnieuw een permutatie, en wel op een zodanige manier dat de bewerking "$\backslash circ$" van de collectie $\backslash mathcal\{S\}(A)$ van alle permutaties van $A$ een groep maakt. In het bijzonder noteert men $\backslash mathcal\{S\}\_n$ voor de groep van alle permutaties van de verzameling $\backslash \{1,2,\backslash ldots,n\backslash \}$. Als $A$ minstens drie elementen bevat, is deze groep niet abels.

Een permutatiegroep is een deelgroep van de groep van alle permutaties op een gegeven verzameling. Elke groep $G$ is isomorf met een permutatiegroep op de verzameling $G$. Associeer daartoe het groepselement $g$ met de permutatie $\backslash pi\_g$ die ieder element $h\backslash in\; G$ afbeeldt op het groepselement $g.h$

Even en oneven permutaties

Elke permutatie van een eindige verzameling kan geschreven worden als een samenstelling van een eindig aantal verwisselingen. Deze schrijfwijze is niet uniek, maar de pariteit van het aantal verwisselingen is wel onveranderlijk. Een even permutatie is een samenstelling van een even aantal verwisselingen, een oneven permutatie is een samenstelling van een oneven aantal verwisselingen. De identieke permutatie is even, elke verwisseling is oneven.

De alternerende groep op $n$ elementen, genoteerd $\backslash mathcal\{A\}\_n$, is de deelgroep van $\backslash mathcal\{S\}\_n$ die bestaat uit de even permutaties.

combinatoriek | Verzamelingenleer | Groepentheorie

Пермутация | Permutation | Permutation | Permutation | Permutaĵo | Permutación | Permutaatio | Permutation | תמורה (מתמטיקה) | Permutáció | Permutazione | 順列 | 순열 | Kėliniai | Permutasjon | Permutacja | Permutação | Перестановка | Permutation | Hoán vị