Existentie betekent in de wiskunde en logica dat een eigenschap voor minstens één element van een verzameling geldt. De bijbehorende existentiekwantor wordt genoteerd als $\backslash exists$.

De existentiekwantor bestaat uit drie delen:

• Declaratie van gebonden variabelen;
• Specificatie van het domein;
• Propositie.

Deze zullen hieronder uitvoeriger beschreven worden.

Declaratie

Het eerste gedeelte beschrijft de gebonden variabelen. Deze heten gebonden, aangezien deze alleen voor mogen komen binnen de haakjes van dit $\backslash exists$-predikaat. Buiten de haakjes is de waarde van zo'n variabele ongedefinieerd en dus onbruikbaar. Hier mogen meerdere variabelen tegelijkertijd gedeclareerd worden, doorgaans gescheiden door komma's.

Domein

In dit gedeelte vormt een predikaat het domein over de gebonden variabelen. Zo kan je de beperking opleggen: $x\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N$, dus in spreektaal: "voor alle natuurlijke getallen x". Wanneer het domein leeg is, d.w.z. de propositie die het domein beschrijft levert "onwaar" op, levert het predikaat met de existentiële kwantor altijd "onwaar" op, ongeacht de propositie die daarop volgt. Soms wordt het domein ook weggelaten, dan wordt uitgegaan van het domein "waar".

Propositie

Hier volgt ook een propositie die iets over alle elementen uit het beschreven domein zegt. Er kunnen hier ook alkwantoren of existentiele kwantoren in voorkomen, zodat je een geneste structuur krijgt. Variabelen die gedeclareerd zijn, zijn bruikbaar in geneste kwantoren, maar niet andersom!

Equivalentieregels

Domeinverzwakking: $(\backslash exists\; x\; :\; P\; \backslash wedge\; Q\; :\; R)\; \backslash Leftrightarrow\; (\backslash exists\; x\; :\; P\; :\; Q\; \backslash wedge\; R)$

Domeinsplitsing: $(\backslash exists\; x\; :\; P\; \backslash or\; Q\; :\; R)\; \backslash Leftrightarrow\; (\backslash exists\; x\; :\; P\; :\; R)\; \backslash or\; (\backslash exists\; x\; :\; Q\; :\; R)$

De Morgan: $\backslash neg\; (\backslash forall\; x\; :\; P\; :\; Q)\; \backslash Leftrightarrow\; (\backslash exists\; x\; :\; P\; :\; \backslash neg\; Q\; )$ en $\backslash neg\; (\backslash exists\; x\; :\; P\; :\; Q)\; \backslash Leftrightarrow\; (\backslash forall\; x\; :\; P\; :\; \backslash neg\; Q\; )$

Voorbeelden

De volgende uitspraak is waar: er is een reëel getal x zodanig dat $x^2\; =\; 3$. Dit geldt namelijk voor $x\; =\; \backslash sqrt\{3\}$ en $x=\; -\backslash sqrt\{3\}$. Wiskundigen noteren:

$(\backslash exists\; x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\; :\; x^2\; =\; 3)$

De volgende uitspraak is echter onjuist: er is een geheel getal z zodanig dat $z^2\; =\; 3$. In dit geval noteert men:

$(\backslash not\backslash exists\; z\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\; :\; z^2\; =\; 3)$.

De volgende expressie is waar, aangezien er een natuurlijk getal bestaat dat gelijk is aan 1. $(\backslash exists\; x\; :\; x\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; :\; x\; =\; 1)$ :

De volgende expressie is onwaar, omdat het hier om een leeg domein gaat. Er is namelijk geen x die én een natuurlijk getal is én kleiner is dan 0.

Zie ook

• Uniciteit
• Universaliteit

Wiskunde | Logica

Eksistenskvantor | Existential quantification | Ekzistokvantoro | Cuantificador existencial | Kwantyfikator egzystencjalny | Existenskvantifikator | 存在量化