In de wiskunde, meer in het bijzonder de discrete wiskunde is een differentievergelijking, ook aangeduid als recurrente betrekking, een relatie waarmee de elementen van een rij recursief gedefinieerd worden, d.w.z. elk element van de rij is een functie van de voorgaande elementen. Als we de rij aangeven met x, wordt het n^e element gegeven door:

$x\_n\; =\; f(x\_\{n-1\},\; x\_\{n-2\},\backslash ldots,\; x\_1,\; x\_0)\backslash ,$.

Een differentievergelijking is het discrete analogon van een differentiaalvergelijking: een differentievergelijking legt verbanden tussen de waarden van een functie op discrete (equidistante) tijdstippen.

Lineaire differentievergelijkingen

---

Een speciaal geval vormen de lineaire differentievergelijkingen, waarin de functie f een lineaire functie is.

Voorbeeld

De rij van Fibonacci wordt gedefinieerd door de differentievergelijking:

$u\_0=0\backslash ,$

$u\_1=1\backslash ,$

$u\_n=u\_\{n-1\}+u\_\{n-2\}\backslash ,$ voor n = 2, 3, ...

In dit voorbeeld van een lineaire differentievergelijking hangt de waarde van de volgende term slechts af van de twee voorgaande. We zeggen dat de differentievergelijking van de tweede orde is.

Een lineaire differentievergelijking van de orde k heeft de vorm:

$x\_n\; =\; c\_0(n)+c\_1(n)x\_\{n-1\}+\; c\_2(n)x\_\{n-2\}+\backslash ldots+c\_k(n)x\_\{n-k\}\backslash ,$,

waarin de coëfficiënten c nog van n kunnen afhangen. Zijn de de coëfficiënten c niet afhankelijk van n, dan spreken we van een lineaire differentievergelijking van de orde k met constante coëfficiënten :

$x\_n\; =\; c\_0+c\_1\; x\_\{n-1\}+\; c\_2\; x\_\{n-2\}+\backslash ldots+c\_k\; x\_\{n-k\}\backslash ,$.

In het geval $c\_0=0$ spreken we van de homogene vergelijking, waarvan oplossingen gevonden worden door de substitutie:

$x\_n\; =\; \backslash lambda^n\backslash ,$,

waardoor de vergelijking overgaat in:

$\backslash lambda^n\; =\; c\_1\; \backslash lambda^\{n-1\}+\; c\_2\; \backslash lambda^\{n-2\}+\backslash ldots+c\_k\; \backslash lambda^\{n-k\}\backslash ,$

of

$\backslash lambda^k\; -\; c\_1\; \backslash lambda^\{k-1\}-\; c\_2\; \backslash lambda^\{k-2\}-\backslash ldots-c\_\{k+1\}\backslash lambda-c\_k\; =0\backslash ,$,

de karakteristieke vergelijking geheten.

Als alle wortels $\backslash lambda\_1,\backslash ldots,\; \backslash lambda\_k\backslash ,$ verschillend zijn, wordt de algemene oplossing van de homogene differentievergelijking gegeven door:

$x\_\{Hn\}=A\_1\; \backslash lambda\_1^n\; +\; \backslash ldots\; +\; A\_k\backslash lambda\_k^n\backslash ,$,

waarin de A's nog vrij te kiezen constanten zijn. Na het vinden van een speciale oplossing $x\_\{Sn\}\backslash ,$ van de algemene vergelijking, wordt de algemene oplossing gegeven door:

$x\_n=x\_\{Sn\}+x\_\{Hn\}\backslash ,$.

Voorbeeld (vervolg)

---

De differentievergelijking voor de Fibonacci-getallen is een homogene lineaire differentievergelijking van de orde 2 met constante coëfficiënten. De karakteristieke vergelijking is:

$\backslash lambda^2\; -\; \backslash lambda\; -\; 1\; =\; 0\backslash ,$,

met wortels:

$\backslash lambda\_\{1,2\}\; =\; \backslash frac\{1\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$,

De algemene oplossing is dus:

$x\_\{Hn\}=A\_1\; \backslash lambda\_1^n\; +\; A\_2\backslash lambda\_2^n$.

uit de beginvoorwaarde $x\_0=0\backslash ,$ volgt dat $A\_1=-A\_2\backslash ,$, en uit $x\_1=1\backslash ,$ en het gegeven dat:

$\backslash lambda\_1-\backslash lambda\_2=\backslash sqrt\{5\}\backslash ,$

volgt dat

$A\_1=\backslash frac\; 1\{\backslash sqrt\{5\}\}\backslash ,$,

zodat de algemene oplossing is:

$x\_n=\backslash frac\{(1\; +\; \backslash sqrt\{5\})^n\; -\; (1\; -\; \backslash sqrt\{5\})^n\}\{2^n\backslash sqrt\{5\}\}\; \backslash ,$.

Zie ook

---

• Recursie
• Genererende functie

Discrete wiskunde | Digitale signaalverwerking

Differenzengleichung | Recurrence relation | נוסחת נסיגה | Rekurzív sorozat | Relazione di ricorrenza | 数列 | 점화식 | 遞迴關係式