Zij $(X,\backslash mathcal\{T\}\_X)$ een topologische ruimte. Dan kunnen we op elke deelverzameling A van X als volgt een nieuwe topologie definiëren: $\backslash mathcal\{T\}\_A=\backslash \{A\backslash cap\; O:O\backslash in\backslash mathcal\{T\}\_X\backslash \}$ Deze topologie wordt de deelruimtetopologie genoemd. Synoniemen zijn: relatieve topologie of spoortopologie.

Erfelijkheid

---

Een eigenschap P van topologische ruimtes wordt ook wel erfelijk genoemd als voor elke topologische ruimte $(X,\backslash mathcal\{T\}\_X)$ de eigenschap P heeft geldt dat elke deelruimte $(A,\backslash mathcal\{T\}\_A)$ die eigenschap ook heeft.

Voorbeelden van erfelijke eigenschappen

• Het zijn van een Hausdorffruimte.
• Het zijn van een reguliere ruimte.
• Eerste aftelbaarheid.
• Tweede aftelbaarheid.

Voorbeelden van eigenschappen die niet erfelijk zijn

• Samenhang. $\backslash mathbb\{R\}$ is immers wel samenhangend, maar de deelruimte $(0,1)\backslash cup(2,3)$ niet.
• Om dezelfde reden is wegsamenhang ook geen erfelijke eigenschap.
• Compactheid is geen erfelijke eigenschap. Immers $(0,1)$ is een niet-compacte deelruimte van de compacte ruimte $*$. Compactheid gaat wél over op gesloten deelruimten: immers, van een open overdekking van de deelruimte maakt men een open overdekking van de oorspronkelijke ruimte door er één element (het complement van de deelruimte) aan toe te voegen. Uit de resulterende eindige deeloverdekking haalt men dit ene element weer weg.
• Het separabel zijn van ruimtes is geen erfelijke eigenschap. Zo is het vlak van Sorgenfrey wel separabel, maar de lijn $y=-x$ is niet separabel. Voor metrische ruimtes echter is separabiliteit wel een erfelijke eigenschap.

Topologie

Teilraumtopologie | Subspace topology | טופולוגיה מושרית | Topologia del sottoinsieme | Podprzestrzeń (topologia)