Aibė - viena pagrindinių sąvokų matematikoje. Aibių teorija, mokslo sritis atsiradusi tik XIX a. gale, dabar yra viena reikšmingiausių matematikos dalių, pradedama mokyti dar pagrindinėje mokykloje.

Terminai

---

Aibė - tai objektų aibė. Aibės objektai vadinami elementais ar nariais. Paprastai aibės žymimos didžiosiomis raidėmis (A, B, C, ..). Dvi aibės yra lygios (A = B), jei abiejų aibių elementai sutampa.

Aibės, kuriuos turi pasikartojančių elementų vadinamos multiaibėmis.

Aibės dažniausiai apibūdinamos žodžiais arba formaliai:

A = {1, 2, 3}

B = {raudona, balta, mėlyna, žalia}

Aibių apibūdinimas nebūtinai turi sutapti, kad aibės būtų lygios. Elementų eilės tvarka ar pasikartojimas taip pat neturi įtakos, t.y. {2, 4}, {4, 2} ir {2, 2, 4, 2} yra identiškos aibės, nes turi lygiai tokius pat elementus.

Jei aibė neturi nei vieno elemento, ji vadinama tuščia aibe ir žymima ∅.

Aibė taip pat gali turėti begalinį elementų skaičių - pavyzdžiui, sveikųjų skaičių aibė.

Poaibis

Jei kiekvienas aibės A elementas yra ir aibės B elementas, aibė A yra aibės B poaibis ir tai žymima A ⊆ B. Jei dar tenkinama sąlyga, kad aibė A nelygi B, tai griežtasis poaibis ir žymima A ⊂ B. Šiuo atveju B yra aibės A viršaibis.

Pavyzdžiai:

• Visų vyrų aibė yra griežtas visų žmonių aibės poaibis
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {4, 3, 2, 1}

Taip pat natūrali išvada, kad tuščia aibė yra bet kurios kitos aibės poaibis ir kad kiekviena aibė yra savo pačios poaibis:

• ∅ ⊆ A
• A ⊆ A

Sąjunga

Aibių sąjunga tai lyg sudėtis - aibių sąjungos rezultatas yra aibė, kurioje yra visi jungiamųjų aibių elementai. Aibių A ir B sąjunga žymima A ∪ B.

Pavyzdžiai:

• {1, 2} ∪ {raudona, balta} = {1, 2, raudona, balta}

• {1, 2, žalia} ∪ {raudona, balta, žalia} = {1, 2, raudona, balta, žalia}
• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sąjungos savybės:

• A ∪ B   =   B ∪ A

• A  ⊆  A ∪ B
• A ∪ A   =  A
• A ∪ ∅   =  A

Sankirta

Aibių A ir B sankirta yra aibė, sudaryta iš elementų, esančių tiek A, tiek ir B aibėje. Sankirta žymima A ∩ B. Jei A ∩ B  =  ∅, tai A ir B yra nesikertančios aibės.

Pavyzdžiai:

• {1, 2} ∩ {raudona, raudona} = ∅

• {1, 2, žalia} ∩ {raudona, raudona, žalia} = {žalia}
• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sankirtos savybės:

• A ∩ B   =   B ∩ A

• A ∩ B   ⊆   A
• A ∩ A   =   A
• A ∩ ∅   =   ∅

Skirtumas

Aibių A ir B skirtumas yra aibė, kurią sudaro elemantai, esantys aibėje A, bet nesantys aibėje B. Aibių skirtumas žymimas A \ B.

Aibių teorija

مجموعة (رياضيات) | Мноства | Множество | সেট | Conjunt | Množina | Menge (Mathematik) | Σύνολο | Set | Aro | Conjunto | Hulk | مجموعه (ریاضی) | Joukko | Ensemble | קבוצה (מתמטיקה) | Halmaz | Ensemblo | Insieme (insiemistica) | 集合 | ಗಣ | 집합 | Множество | Verzameling (wiskunde) | Mengde | Zbiór | Conjunto | Mulţime | Множество | Množina | Množica | Bashkësitë | Скуп | Mängd | Множина | 集合