점화식

점화식(漸化式)은 수열의 앞 뒤 항들끼리 만족하는 관계식이다. 좀 더 엄밀한 정의는 다음과 같다.

수열 {a_n} 의 각 항 a_n 이 함수 f 를 이용해서

a_n+1 = f(a₁, a₂, ..., a_n)

처럼 귀납적으로 정해져 있을 때, 함수 f 를 수열 {a_n} 의 점화식이라고 하며, 또한, 수열 {a_n} 은 점화식 f 로 정의된다고 한다.

점화식을 푼다는 것은 점화식으로 주어진 수열 {a_n} 의 일반항 a_n 을 n 의 명시적인 식(explicit formula)으로 나타내는 것을 말한다.

등차 수열이나 등비수열은, 그 정의에 의해 매우 단순한 점화식을 가진다. 즉,

a_n+1 = a_n + d (d 는 상수)

와 같이 된다. 이 등차수열의 점화식에서 상수 d가 공차(공통적인 차이)이다. 이 점화식을 풀면 일반항의 식은 a_n = a₁ + (n - 1)d 이 된다. 마찬가지로

a_n+1 = r · a_n (r 는 상수)

이 등비수열의 점화식이며,상수 r 이 공비(공통적인 비율)이다. 이 점화식을 풀면 a_n = r^n-1 · a₁ 이란 일반항을 얻을 수 있다.

이들은 다음에 설명할 인접하는 2항간 점화식의 가장 단순한 것이다.

수열 {a_n} 이 점화식에 의해서 정의되고 점화식이 변수가 하나인 함수 f 에 의해서

a_n+1 = f(a_n)

로 나타내지고 있을 때, 이 점화식은 인접2항간의 점화식이라고 한다. 특히, f 가 일차식

a_n+1 = p(n) · a_n + q(n)

(p, q 는 n 의 함수)

일 때, 선형이라고 한다. 계수 p, q가 상수인 2항간 점화식, 즉,

a_n+1 = p · a_n + q

(p, q 는 n 에 관계하지 않는 상수)

라면, 이 점화식은 다음과 같이 해서 등차 수열 혹은 등비수열에 귀착되어 일반항 n 의 식으로 명시적으로 기술할 수 있다.：

p = 1 일 때, 점화식은 a_n+1 = a_n + q 이며, 이것은 등차수열을 나타낸다.

p ≠ 1 일 때, 점화식 a_n+1 = p · a_n + q 의 특성방정식이라 불리는 x = px + q 의 근을 α 라고 하면, 점화식은

a_n+1 - α = p (a_n - α)

으로 변형할 수 있다. 이것은 일반항이 b_n = a_n - α 로 정의되는 수열{b_n} 이 공비가 p 인 등비수열이 된다는 뜻이 되며, b_n 을 n 의 식으로 쓸 수 있다. 다시, a_n = b_n + α 이므로, 이것도 n 의 식으로 표현이 가능하다.

수열 {a_n} 이 점화식에 의해서 정해지며, 점화식이 2 변수 함수 f 에 의해서

a_n+2 = f(a_n+1, a_n)

로 표현될 때, 이 점화식은 인접3항간의 점화식이라고 한다. 특히,f 가 일차식

a_n+2 = p(n) · a_n+1 + q(n) · a_n

（p, q 는 n 의 함수）

일 경우 선형이라고 한다. 상수 계수 선형 인접3항간 점화식, 즉

a_n+2 = p · a_n+1 + q · a_n

（p, q 는 n 에 무관한 상수） 라면, 특성 방정식 x² = px + q 의 근을 이용해 풀 수 있다.

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