미분방정식

미분방정식(微分方程式 , differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수간의 관계를 나타내는 방정식이며, 줄여서 미방이라고 부르기도 한다. 미분방정식의 차수(order)는 방정식에 나오는 도함수가 몇 계 도함수까지 나오는지에 따라 결정된다.

$y$ 가 $x$ 의 함수라고 하고, $y', y$ , ..., y^{(n)} 들로 함수의 미분 $dy/dx, d^{2}y/dx^2, ..., d^{n}y/dx^{n}$ 을 나타낸다고 할 때,상미분방정식(ODE, ordinary differential equation)은 $x, y, y', y$ , ...로 이루어진 방정식이다. 미방의 차수(order)는 나오는 도함수의 가장 높은 계수 n이 된다. 이들 중에 중요한 것으로, $x$ 가 식에 나오지 않는 방정식을 들 수 있다. 이 특수한 경우에는 공간위의 두 점에 대해 동일한 해에 놓여 있는지 여부에 따라, 공간 전체를 동류항(? equivaltce class)들로 나눌 수 있다. 이런 종류의 미분 방정식은 벡터장(vector field)이다. 물리법칙은 시간의 변화에 무관하다고 생각되기 때문에, 세계는 이런 미분방정식의 지배를 받는다. Symplectic topology 참고.

미분방정식은 함수와 그 도함수들이 방정식을 만족하는 함수 $y$ 를 찾음으로 풀 수 있다. 예를 들어, 미분방정식 $y'' + y = 0$ 는 일반해 $y = A \cos{x} + B \sin{x}$ (여기서 $A$ , $B$ 는 경계조건(boundary condition)에 의해 결정되는 상수)로 주어진다. 미방이 선형(linear)인 경우에는 방정식을 나누어 해를 구하고, 다시 그 해들을 합쳐서 원래 방정식의 해를 구할 수 있다. 그러나, 불행히도 많은 흥미로운 미분방정식은 비선형(non-linear)이고, 따라서 잘게 쪼개어 풀 수 없다. 요즈음에는 컴퓨터를 이용하여 미분방정식을 쓰는 방법들이 많이 나와있다. (see numerical ordinary differential equations).

상미분방정식은 $y$ 가 여러 변수의 함수이며, 방정식이 편미분을 포함하는 편미분방정식(PDE, partial differential equation)과 구분된다.

미분방정식은 유체역학, 천체역학(celestial mechanics)등의 물리적 현상의 수학적 모델을 만들 때에 사용된다. 따라서 미분방정식은 순수수학과 응용수학의 여러 분야에 걸쳐있는 넓은 학문이다.

미분방정식의 목표는 다음 세가지 이다. 첫째, 특정한 상황을 표현하는 미분방정식을 발견하는 것이다. 둘째, 그 미분방정식의 정확한 해를 찾는 것이다. 셋째, 그 찾은 해를 해석하여 미래를 예측하는 것이다. 미분방정식에 대해 해가 있어야만 하는지, 아니면 해가 유일한지등의 문제도 중요한 관심사 이다. 그러나, 응용수학자, 물리학자, 엔지니어들은 대개 주어진 미방을 푸는 데에 관심을 두기 마련이고, 이에서 얻어진 해는 다리, 자동차, 비행기, 하수도등을 만드는 데에 이용되고 있다.

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미분방정식의 예

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