ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣಕಯಂತ್ರ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ(Set Theory) ಒಂದು ಪ್ರಮುಖವಾದ ವಿಷಯ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಗಣ ಎಂಬುದು ಸಮೂಹಗಳ ನಿರೂಪಣೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು: W = {೦, ೧, ೨, ೩, ೪, ...} ಎಂಬುದು ಅಂಕಿಗಳ ಒಂದು ಅನಂತ ಗಣವಾದರೆ, ಪ = {ಹಸು, ಕಾಗೆ, ಕೋಳಿ, ಸಿಂಹ, ಹುಲಿ} ಎಂಬುದು, ೫ ಪ್ರಾಣಿ ಸದಸ್ಯಗಳ ನಿಷ್ಕೃಷ್ಟ ಗಣ.

ಸಾಮನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣ ಎಂಬುದು ವಸ್ತು ಮಾದರಿ ಸಮೂಹಗಳ ನಿರೂಪಣೆಯೇ ಹೊರತು, ವಸ್ತು ನಿದರ್ಶನ ಗಳ ಸಮೂಹವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ = {೨ ಹಸು, ೩ ಕಾಗೆ, ೫ ಕೋಳಿ, ೧ ಸಿಂಹ, ಹುಲಿ, ಹುಲಿ} ಎಂಬುದು ತಪ್ಪಾದ ನಿರೂಪಣೆ. ವಸ್ತು ನಿದರ್ಶನಗಳ ಸಮೂಹಗಳನ್ನು, ಆವಳಿ-ಗಣ (multi-set) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆೆ. ಗಣಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಆವಳಿ-ಗಣಗಳಿಗಿಂತ ವಿಭಿನ್ನವಾದುದು.

ಗಣಗಳ ನಿರೂಪಣೆ ಯಾವುದೇ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ {೨, ೪, ೬, ೮} ಮತ್ತು {೪, ೨, ೮, ೬} ಇವೆರಡು ಗಣಗಳೂ ಒಂದೆ.

ಸಾಮನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣಗಳು ಒಂದೇ ಮಾದರಿಯ ವಸ್ತು ಸಮೂಹವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ {೧, ೨, ೩, ಹಸು} ಎಂಬ ಗಣ ನಿರೂಪಣೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಪ್ಪೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸದಸ್ಯತ್ವ

ಯಾವುದೆ ಒಂದು ಗಣ U ನಲ್ಲಿ ಸೇರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳೂ U ನ ಸದಸ್ಯರೆಂದು ಕರೆಲ್ಪದುತ್ತವೆ. ಗಣದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸದಸ್ಯರು ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು "ಅನಂತ ಗಣ"ವೆಂದೂ, ಇಲ್ಲವಾದರೆ, "ನಿಷ್ಕೃಷ್ಟ ಗಣ"ವೆಂದೂ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಗಳ ಸದಸ್ಯ ವಸ್ತುಗಳು, ತಾವೆ ಗಣಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಂಬುದು, ಎರಡು ಸದಸ್ಯಗಳುಳ್ಳ ಗಣ. ಈ ಎರಡೂ ಸದಸ್ಯಗಳೂ, ತಾವೇ ಗಣಗ್ಳಾಗಿದ್ದು, ಎರಡರಲ್ಲೂ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ೨ ಸದಸ್ಯ ಗಣಗಳು ಇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣಗಳು ತಾವೇ ತಮ್ಮ ಸದಸ್ಯರಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ = {{೧,೨}, {೩,೪}, ಪ} ಎಂಬುದು ತಪ್ಪಾದ ನಿರೂಪಣೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು, ಅಡಿಪಾಯ ಆಧಾರ ಸೂತ್ರ (Axiom of Foundation) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು, ರಸೆಲ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಗಳಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟಲು ಸಹಾಯಕವಾಗಿರುವುದು.

ಹಾಗಾಗಿಯೂ, ಇತ್ತೀಚಿಗೆ, ವಿರೋಧಾಭಾಸವಿಲ್ಲದೆಯೆ ಗಣಗಳಿಗೆ ಸ್ವ-ಸದಸ್ಯತ್ವವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಂತಹ ಗಣಗಳನ್ನು "ಅಡಿಪಾಯ ರಹಿತ" ಗಣಗಳೆಂದು (non-wellfounded sets) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತ

مجموعة (رياضيات) | Мноства | Множество | সেট | Conjunt | Množina | Menge (Mathematik) | Σύνολο | Set | Aro | Conjunto | Hulk | مجموعه (ریاضی) | Joukko | Ensemble | קבוצה (מתמטיקה) | Halmaz | Ensemblo | Insieme (insiemistica) | 集合 | 집합 | Aibė | Verzameling (wiskunde) | Mengde | Zbiór | Conjunto | Mulţime | Множество | Množina | Množica | Bashkësitë | Скуп | Mängd | Множина | 集合