高度合成数

高度合成数（こうどごうせいすう）とは、その数未満のどの合成数よりも約数の個数が多い整数をいう。

2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080

などが高度合成数である。

これらの内：

1から6までの全てで割り切れる数：60
1から10までの内、全ての偶数で割り切れる数：120
1から10までの内、7を除いて全てで割り切れる数：360
1から10までの全てで割り切れる数：2520

となる。

概要

高度合成数の概念は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案された。

高度合成数は無限に存在する。この事実を示すためには以下のようにすればよい。

n を任意の高度合成数とする。2n は n を約数に持つから、n の約数と 2n とを少なくとも約数として持ち､結局 n よりも多くの約数を持つことが分かる。したがって、n より大きく 2n 以下で高度合成数になるような自然数が少なくとも一つ存在することが分かる。

大雑把に言って、ある数が高度合成数になるには、できるだけ小さな素因数を持ち、しかも同じものを多く持ち過ぎない点を必要とする。例えば 18=2×3×3 は、12=2×2×3 が同じ数の約数を持ち、しかもより小さいために高度合成数ではない。しかし、同じ素因数を多く持つと約数の数は比較的少なくなる。例えば、8=2×2×2 は 6=2×3 より大きく､同じ数の約数しか持たないので高度合成数にはならない。

高度合成数は、伝統的な度量衡の体系にしばしば現れ（例：時間の60など）、また工学的な設計によく使われる。これは除算を含む計算が簡単に行える利点による。

Q(x) で x 以下の高度合成数の個数を表すと、1 より大きな定数 a, b が存在して

(lnx)^a ≤ Q(x) ≤ (lnx)^b

が成り立つ。

数論 | 整数の類

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