部分集合

部分集合 (ぶぶんしゅうごう) とは、ある大きな集合に対して、その一部分をなす集合である。数学的には、集合 P, Q が存在して、

x ∈ P ⇒ x ∈ Q

なる関係が常に成り立つ時、集合 P を集合 Q の部分集合（または「Q は P を部分集合として含む」、「Q は P を包む」）と呼び、P ⊆ Q（または P ⊂ Q）と表す。

Venn-Diagram-True-Subset.png P ⊆ Q かつ P ≠ Q なるときには、集合 A を集合 Q の真部分集合と呼び、P ⊂ Q（上の P ⊂ Q の流儀では $P\subsetneq Q$ ）と表す。部分集合は等しい集合同士でも関係が成り立つため、特に等しい集合を除いて議論を行う場合、真部分集合を用いる。

例

P = {4,10}

Q = {1,4,7,10,13}

このとき、P ⊆ Q である。なおかつ P ≠ Q であるので P ⊂ Q ということもできる。

定理

以下、P,Q,Rを集合、Sを全体集合とする。

空集合Φはすべての集合の部分集合である。
P⊆P
P⊆QかつQ⊆PならばP=Qであり、また逆も真である。
P⊆QかつQ⊆RならばP⊆Rである。
P⊆S
P⊆P∪Q
P⊆RかつQ⊆RならばP∪Q⊆R
P∩Q⊆P
R⊆PかつR⊆QならばR⊆P∩Q
以下は同値である。
- P⊆Q
- P∩Q=P
- P∪Q=Q
- P−Q=Φ
- Qの補集合⊆Pの補集合

注意

Wikipedia では部分集合を P ⊆ Q とし、真部分集合であることを明示するときに P ⊂ Q を用いる（ご意見はノートへ）。

集合論 | 初等数学

Gourt Home::Gourt :: 部分集合

例

定理

注意