角度

角度（かくど）とは、角の大きさ、あるいは大きさの具合を比較する基準・測度 (measure) のこと。角はおもに平面上の図形に対して定義され、平面角とも呼ばれることがあるが、弧度法の球面における類似を考えて立体角も定義される。

以下、本項目においては平面角を扱う。

定義

平面上の一点 O から出る 2 つの半直線を考えると、それによって平面は O が見込む 2 つの領域に分割される。この分割された 2 つの領域をそれぞれ O が見込む角（かく）といい、始点 O を角の頂点という。また、この 2 つの半直線の開き具合を角度という。

またこのとき、角が 2 つあるのでこれらの角度に大小の違いが生じるが、角度が大きいほうを優角、小さいほうを劣角と呼ぶことがある。明らかにどんな一組の頂点・2 半直線についても、その優角と劣角との角度の和（これを全方位角などと言うこともある）は一定である。

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分類

直角・平角・周角: 直角（ちょっかく、right angle）：交わる 2 つの直線で一方が他方の直線上のある 2 点から等距離にある点の軌跡と一致する時、その 2 直線が作る角あるいはその角度である。; 平角（へいかく、straight angle）：平角は優角と劣角の大きさが等しい時の、その角度（即ち、同じ始点を出るが、向きが逆で 1 つの直線上にあるような 2 つの半直線によって生じる角度）ということもできる。1 つの線の角度であり、直角の2倍に等しい。; 三直角（さんちょっかく、three times of right angle）：直角の3倍の角度である。; 周角（しゅうかく、round angle）：一周の角度。1 つの点のみの角度である。直角の4倍に等しい。

鋭角・鈍角: 平角より小さい角度を持つ角について、直角より小さい角度あるいはそのような角度を持つ角を鋭角（えいかく）、大きい角度を持つ角あるいはその角度を鈍角（どんかく）と呼ぶ。

中心角・外角・内角: 頂点と中心点を結ぶ線の間隔を中心角（ちゅうしんかく）という。内角（ないかく）は、図形内の2本の辺が成す角度である。外角（がいかく）は、2本の辺の内の1本を外に伸ばした線の角度であり、中心角の角度に等しい。内角は、平角から外角を減らした角度になる。周角を頂点の数で除すると、中心角と外角になる。

補角・余角: 鋭角に対し、合わせて直角となる角あるいは角度をその角の余角（よかく）という。同様に、平角より小さい角度を持つ角に対し、合わせて平角となる角あるいは角度をその角の補角（ほかく）と呼ぶ。

単位系

平面上の角度には、単位量の決め方により次のような体系がある。

度数法

度数法は、平面を定点を通る直線によって 360 等分する時、その等分された一つの角として定まる角度を 1 度（°）として基本単位に持つ単位系である。更に、六十分法を用いて、 1°= 60′（分）、1′= 60″（秒）として下位の単位を定める。定義の仕方から、全方位角は 360°である。

定義から、中心角が 1°の互いに合同な扇形を 360 個張り合わせると扇形の要を中心とする円ができる。円の相似性より、1 度を一つの円を 360 個の互いに合同な扇形に分割した時の一つの扇形の中心角の大きさとして定めることもできる。

この体系は、暦における 1 年の日数（≒360 日）に由来している。

他に、以下のような角度の単位がある。これらは円周の分割の数が異なるだけで、度数法と本質的には同じである。

十進法（10の累乗数）の角度単位のグラード -- 円周を400等分（直角を100等分）
軍用に使われる mil（ミル） -- 円周を6400等分
航空・航海で使われる点 -- 円周を32等分

弧度法

弧度法は扇形に対して、その弧の半径の長さに対する比を以って角の大きさを測る尺度とする。すなわち、弧の長さが半径と等しくなるときの中心角（扇形の要が 2 つの半径となす劣角）を 1 ラジアン (rad) とする（radian の訳語として弧度も用いられるが、ラジアンと呼ぶほうが一般的なようである）。全方位角は 2π ラジアンである。

弧度法は単位円上の孤の長さで角度の大きさを表したものとも表現できる。あるいは、三角比を含む極限

\lim_{h \to 0} {\sin h \over h} = 1

が成り立つような角度の単位系であると言っても構わない。

度数法の表示と比較して、π を含むため初学者には親しみにくいが、微分、積分などの解析的操作を行うとき直接扱うことができるという大きな利点があり頻用される。角度の単位であると同時に、ラジアンは「長さの比」でもあるので、数学においては単なる実数として扱われることが多い。

ラジアンは平面角の国際単位である。

勾配

勾配については、水平方向の単位長さに対する垂直方向の長さ（高さ）によって角度を示す方法もある。水平方向に対する垂直方向の長さの割合によって示す方法が道路や鉄道の勾配についてよく行われており、道路についてはパーセント（％）、鉄道についてはパーミル（‰）がよく用いられる。例えば「10パーセントの勾配」とは水平方向に100メートル進むと10メートル上昇（または下降）する勾配を示す。45度は100％（1000‰）の勾配になる。尺貫法では、水平方向1尺に対する高さを寸で表したもので勾配を示していた。すなわち、45度の勾配は「10寸」となる。

相互関係

各体系の単位には以下のような相互の関係がある。

2π ラジアン = 360°。1 ラジアンは約 57.3°。
1 直角 = 90 度 = π/2 ラジアン = 100^g（グラード）
1^g = 100^cg（センチグラード）= 0.9° = 54′= 3240″
1^cg = 100^cc（センチ・センチグラード）= 0.009°= 32.40″
1^cc = 0.01^cg = 0.32″
6400 mil = 360°

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度数法

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勾配

相互関係

関連項目