初等数学あるいは算術において、整数 n の 約数（やくすう、divisor）あるいは因数（いんすう）、因子（いんし、factor）とは、n を余りなく割り切ることができる整数の総称である。

整数 n が整数 m の約数であることを、記号 | を用いて n | m と表す。

自然数あるいは正の整数のみを対象として考えている文脈においては、単に「約数」というとき、それは往々にして「正の約数」を意味する。

例

---

50 の正の約数は 1, 2, 5, 10, 25, 50 の 6 個であり、実際に

• 50 ÷ 1 = 50
• 50 ÷ 2 = 25
• 50 ÷ 5 = 10
• 50 ÷ 10 = 5
• 50 ÷ 25 = 2
• 50 ÷ 50 = 1

のように全て割り切ることができる。

約数に関する定義と性質

---

• いかなる整数 n に対しても、1 と -1 は常に n の約数となる。これを自明な約数という。
• 0 でない整数はすべて 0 の約数である。
• 整数 n に対し、n 自身と -n もまた n の約数であり、それらとは異なる n の約数を n の真の約数という。自明でない真の約数を持たない正の 整数を素数という。
• 整数 n の約数 p について、p 自身が素数であるとき、p を n の素因数という。
• 算術の基本定理: 0 でない任意の整数は、必ず素因数の積に分解され、その分解の仕方は素因数を掛ける順番の違いを除いてただ一通りである。ゆえに、素因数分解を行えば、全ての約数を知ることができる。

約数の和

---

自然数 n の全ての正の約数の総和を σ(n) で表す。素数 p に対して n = p^a の関係があるとき、σ(n) の値は以下の式で求められる。

$\backslash sigma(n)\; =\; p^a\; +\; p^\{a-1\}\; +\; \backslash cdots\; +\; p\; +\; 1$。

また、n を素因数分解したものが

$n\; =\; p\_1^\{a\_1\}\; p\_2^\{a\_2\}\; \backslash cdots\; p\_m^\{a\_m\}$

であるとき、

$\backslash sigma(n)\; =\; \backslash sigma(p\_1^\{a\_1\})\; \backslash sigma(p\_2^\{a\_2\})\; \backslash cdots\; \backslash sigma(p\_m^\{a\_m\})$

となる。

約数の個数

---

自然数 n の全ての正の約数の個数を d(n) で表す。n の素因数分解が

$n=p\_1^\{a\_1\}\; p\_2^\{a\_2\}\; \backslash cdots\; p\_m^\{a\_m\}$

と表せるとき、d(n) は以下の式で求められる。

$d(n)=(\{a\_1\}\; +\; 1)(\{a\_2\}\; +\; 1)\; \backslash cdots\; (\{a\_m\}\; +\; 1)$。

これは、各 k について素数 p_k の指数 e_k が、それぞれ 0 から a_k までの値をとる場合の組合せの総数と考えればよい。

50 は、素因数分解すると、2¹ · 5² であり

• 2⁰ · 5⁰ = 1
• 2¹ · 5⁰ = 2
• 2⁰ · 5¹ = 5
• 2¹ · 5¹ = 10
• 2⁰ · 5² = 25
• 2¹ · 5² = 50

であることからも、50 の約数の個数は、(2 + 1)(1 + 1) = 6 個であることが分かる。

一般化

---

約数の概念は、除法の原理の成立する整域（ユークリッド整域）、例えば体上の一変数多項式環 K^* などに対して一般化される。

すなわち、任意の元 f に対し、f を余りなく割り切る元を f の約元 (divisor) あるいは因子 (factor) という。f が真の約元を持たないとき f を既約元という（素因子あるいは既約因子ともいう）。

ユークリッド整域では単元（unit, 可逆元 invertible element）倍の違いを除いて素因数分解の一意性が成り立つ。素因数分解の一意性を要求しないならば、さらに一般の整域 R に対しても、単項イデアルの包含関係により約数の概念を拡張することができる。すなわち、a, b ∈ R に対し、単項イデアル (a) = aR, (b) = bR が (a) ⊃ (b) を満たすとき、a は b の約元であるといい、a | b と表す。

関連項目

---

• 倍数
• 公約数
• 素因数分解
• 友愛数、婚約数、社交数
• 完全数

数論 | 初等数学

Teilbarkeit | Divisor | Factor_propio | Facteur_(mathématiques) | Divisore | Critérios_de_divisibilidade | Delitelj