立方数（りっぽうすう）とは、ある自然数の三乗（立方）になっている自然数を指す。

正六面体を作れる事から、「六面数」と呼ばれる事も偶にある。例えば、二百十六（216）は、縦・横・高さの一辺に六個ずつ列べて重ねた時に成立するので、立方数となる。

例：1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000…

立方数の性質

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1からn 番目の立方数 N=n³ までの和は、

$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; k^3=1+8+27+...+N=\{n^2\; (n+1)^2\; \backslash over\; 4\}$

となる。

したがって、次の等式が成り立つ。

$1^3\; +\; 2^3\; +\; 3^3\; +\; ...\; +\; n^3\; =\; (\; 1\; +\; 2+\; 3\; +\; ...\; +\; n\; )^2$

これは、1からn番目までの立方数の和が、1からnまでの自然数の和の二乗に等しいことを意味している。

立方数の逆数和は収束し、次のように表される。

$\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^3\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi^2\}\{7\}\; \backslash log\; 2\; +\; \backslash frac\{16\}\{7\}\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\; x\; \backslash log\; (\backslash sin\; x)\; dx$

1を除く全ての立方数は、2つの平方数の差として表される。

$n^3=\backslash left\backslash \{\; \{n(n+1)\; \backslash over\; 2\}\; \backslash right\backslash \}^2\; -\; \backslash left\backslash \{\; \{n(n-1)\; \backslash over\; 2\}\; \backslash right\backslash \}^2$

すべての自然数は、9個以下の立方数の和として表される。このうち丁度9個使用するものは、23と239だけである。

2通りの方法で、2つの立方数の和として表される最小の自然数は、1729= 12³ + 1³ = 10³ + 9³ である。(参考:シュリニヴァーサ・ラマヌジャン)

フィボナッチ数列に現れる立方数は、1と8のみである。

関連項目

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• 立方根
• 平方数
• 三角数
• 累乗

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