直積集合

直積集合（ちょくせきしゅうごう）とは、集合の集まり（集合族）に対して、各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合のことである。

与えられた集合族から新たに直積集合を得る操作を、集合に対する演算としての側面を強調して、直積をとると言ったり、直積集合を単に直積と呼んだりする。

尚、積集合は、直積集合と別な概念であるから注意されたい。

定義

二つの集合 A, B に対し、

A \times B = \{(a,b) \mid a \in A , b \in B \}.

で定義される集合を A と B の直積集合とよぶ。ここで (a,b) は、順序対を表す。つまり一般には (a, b) ≠ (b, a) である。これらは、たとえ a, b (a ≠ b) がともに A にも B にも属していたとしても異なるものとして区別される。したがって、A × B と B × A は集合として相異なる。

直積演算を 2 つの集合だけでなく、複数個の集合に対しても拡張することが出来る。n 個の集合 A₁, ..., A_n に対する直積集合を、

\prod^{n}_{i=1} A_i = \{(a_1,\dots,a_n) \mid a_1 \in A_1 , \ldots , a_n \in A_n \}

と定義する。∏_i=1ⁿ A_i を A₁ × … × A_n とも表す。

演算としての直積

演算と見ると直積は結合法則を満たすと考えられる。すなわち集合 A, B, C に対し、自然 (canonical) な全単射

A ×(B × C) ↔ (A × B)× C ↔ A × B × C; ((a, b), c) ↔ (a, (b, c)) ↔ (a, b, c)

が存在する。当然これら三つの集合は別のものであるが、誤解の恐れのない場合には、そして多くの場合に全て同一視して考える。その意味で A₁ × … × A_n は二つの集合の直積をとることの繰り返しであると考えてよい。

これと同様な意味で、直積は交換法則も満たす。すなわち

A × B ↔ B × A; (a, b) ↔ (b, a)

という自然な全単射がある。しかし、これを同一視して考えると混乱を招くことが多いので、多くの場合は区別して考える。集合の圏など、集合の間の関係のみを考えてその元について言及しない場合には同一視することがある。

直積集合の濃度

直積集合の濃度は、|A × B| = |A||B| となる。これは、（場合の数に関する）積の原理から導くことが出来る。また、A × A を A² と略記し、同様に n 個の互いに相等な集合に関する直積 A × A × … × A を Aⁿ と表記する。この時、|Aⁿ| = |A|ⁿ が成り立つ。左辺と右辺の演算が異なることに注意されたい。（右辺は数の冪乗を表す。）

例

A = {0, 1, 2, 3} （3以下の自然数の集合）

B = {1, 3} （3以下の奇数の集合）

このとき、A × B = {(0,1), (0,3), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3)}である。

一般化

任意濃度の直積

与えられる集合が有限個でなくとも、それらの直積集合は定義される。必ずしも有限でない集合 Λ で添え字付けられる集合の族 {A_λ}_λ∈Λ に対し、その直積集合を

\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda = \{(a_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \mid a_\lambda \in A_\lambda \mbox{ for all }\lambda \in \Lambda \}

とする。これは、A = ∪_λ∈Λ A_λ とおくと、次のようにして、Map(Λ, A) = {f: Λ → A | f は写像} の部分集合として捉えることができる：

直積集合の元 a = (a_λ)_λ∈Λ ∈ ∏_λ∈Λ A_λ に対して、写像 f_a: Λ → A を f_a(λ) = a_λ と定義すると、当然ながら、f_a(λ) ∈ A_λ である。逆に、g(λ) ∈ A_λ を満たす写像 g: Λ → A に対し、b_λ = g(λ) とおいて、b = (b_λ)_λ∈Λ を考えれば b ∈ A である。つまり、対応 a → f_a が定める写像

\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \to

\{f:\Lambda \to \mathbf{A} \mid f(\lambda) \in A_\lambda \mbox{ for all }\lambda \in \Lambda \} \subset {\rm Map}(\Lambda,\mathbf{A}) は全単射な写像になる。したがって、その濃度は |Map(Λ, A)| = |A|^|Λ| 以下である。

この全単射で両者を同一視して考えるのが普通であるので以下そのようにする。もし、任意の λ について A_λ = A が成り立つならば、A = A で、直積集合 {f: Λ → A | f(λ) ∈ A} は Map(Λ, A) に他ならない。ゆえに、この直積の濃度は |A|^|Λ| である。特に Λ が有限集合 {1, 2, ..., n} のとき |A|ⁿ となるので既に述べたことと一致する。

直積の普遍性

直積 ∏_λ∈Λ A_λ に対し、標準的に定まる全射 p_λ: ∏_λ∈Λ A_λ → A_λ; (a_λ)_λ∈Λ → a_λ を λ-成分への射影あるいは λ-射影などという。

射影を使うと、直積は次のような性質を持つものとして特徴付けることができる：

B は集合で、各 λ に対して写像 f_λ: B → A_λ が与えられているならば、写像 f: B → ∏_λ∈Λ A_λ で

f_\lambda = p_\lambda \circ f

を満たすものがただ一つ存在する。

これを直積の普遍性と呼ぶ。集合の圏以外の圏、たとえば群の圏などの代数的構造を持つ集合の圏についても一般に、直積とは、このような普遍性を持つ対象として定義される。（圏論的には直積の双対概念として直和がある。）

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定義

演算としての直積

直積集合の濃度

例

一般化

任意濃度の直積

直積の普遍性

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