減法

減法（げんぽう、subtraction）は、一方から一部として他方を取り去ることにより両者の間の差異を求める二項演算で、算術の四則と呼ばれるものの 1 つ。計算することの側面を強調して引き算（ひきざん）、減算（げんさん、げんざん）などとも言う。しばしば、減法の演算結果は差（さ、difference）と呼ばれる。

抽象代数学においては、減法は多くの場合加法の逆演算として定式化される。例えば、自然数の間の減法は常に大きいものから小さいものしか減算することができないが、これは整数への数の拡張により自由に行えるようになる（整数の全体は加法と減法に関してアーベル群になる）。

定義

二つの数 a, b の加法と呼ばれる演算 "+" に対して、数 c が

a + b = c

という関係を満足するとき、演算子 "−" を導入して

b = c − a あるいは a = c − b

と記し、c から a を引いた差は b であるとか b と c の差は a であるなどという。

例えば、2 + 3 = 5 であるので

5 − 3 = 2, 5 − 2 = 3

のような計算が成立する。

正負の数の計算方法

2 数 a, b が以下の条件の場合、a − b は次のように計算する。

2 数の符号が同じ場合

a, b ともに正の数のとき
- a の絶対値が b の絶対値より大きい場合
  - a の絶対値から b の絶対値を引いた差に、正の符号をつける。
- a の絶対値が b の絶対値より小さい場合
  - b の絶対値から a の絶対値を引いた差に、負の符号をつける。
a, b ともに負の数のとき
- a の絶対値が b の絶対値より大きい場合
  - a の絶対値から b の絶対値を引いた差に、負の符号をつける。
- a の絶対値が b の絶対値より小さい場合
  - b の絶対値から a の絶対値を引いた差に、正の符号をつける。
a, b の絶対値が等しい場合
- 差は 0 である。

2 数の符号が異なる場合

a が正の数、b が負の数のとき
a の絶対値と b の絶対値を足し、正の符号をつける。
a が負の数、b が正の数のとき
a の絶対値と b の絶対値を足し、負の符号をつける。

この結果から、減法

a − b

は、 a と、b と絶対値が等しく符号が異なる数である −b との加法と捉えなおすことができる。すなわち、

a − b = a + (−b)

である。減法には交換法則、結合法則は成り立たない

cf. a − b ≠ b − a, (a − b) − c ≠ a − (b − c)

が、加法と捉えなおすことによって、加法の交換法則・結合法則が成り立つ。すなわち、

a − b = a + (−b) = (−b) + a, a − b − c = {a + (−b)} + (−c) = a + {(−b) + (−c)}

とすることができる。

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定義

正負の数の計算方法

関連項目