多面体

多面体（ためんたい、Polyhedron）は、複数（4つ以上）の平面に囲まれた立体のこと。複数の頂点を結ぶ直線の辺と、その辺に囲まれた面によって構成される。したがって、曲面をもつものは含まず、また、すべての面の境界が直線である場合に限られる。

多面体の頂点、辺、面の数については、必ず次の関係が成り立つことが知られている（オイラーの多面体公式）。

頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2　

ただしこれは穴の開いていない多面体にしか成り立たない。穴の開いている多面体には穴の数をgとし、

頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2 - 2g

とする。

正多面体

正多面体(Regular polyhedron),またはプラトンの立体(Platonic solid)とは、すべての面が同一の正多角形で構成されてあり、かつすべての頂点において接する面の数が等しい多面体のこと。正多面体には正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五種類がある。三次元空間の中に一つの頂点を取り、その周りに取ることが可能な正多角形に関する制限から、正多面体が5種類より多くは存在できないことが証明できる。しかし条件を緩めることによって更に増やすことができる(参照:星型正多面体、ねじれ正多面体、正平面充填形)。正多面体の構成面をp、頂点に集まる面の数をqとして{p,q}のように表すことができる。これをシュレーフリの記号という。シュレーフリの記号は準正多面体にも拡張することができる。

正多面体の表面積、体積は一辺をaとすれば、概略下記となる。

多面体	構成面	辺	頂点	シュレーフリの記号	表面積	体積	図
正四面体	正三角形	6	4	{3,3}	$1.732a^2$	$0.118a^3$
正六面体	正方形	12	8	{4,3}	$6a^2$	$a^3$
正八面体	正三角形	12	6	{3,4}	$3.464a^2$	$0.471a^3$
正十二面体	正五角形	30	20	{5,3}	$20.65a^2$	$7.663a^3$
正二十面体	正三角形	30	12	{3,5}	$8.660a^2$	$2.182a^3$

正多面体は、適切に頂点を選ぶことで別の正多面体を作ることができる。例えば各面の中心を結ぶという操作で、

正二十面体⇔正十二面体
正六面体⇔正八面体
正四面体⇔正四面体

の様に作ることが出来る。これを双対という。このうち正四面体は正四面体自身になる（自己双対）。

ほかには、

正六面体の1つおきの頂点⇒正四面体
正十二面体の適当な頂点⇒正四面体、正六面体
正四面体の各辺の中点⇒正八面体
正八面体の各辺を黄金分割して結ぶ⇒正二十面体

準正多面体

準正多面体(semi-regular polyhedron)またはアルキメデスの立体(Archimedean solid)とは、面が2種類以上の正多角形で構成され、頂点における構成が同じとなる多面体である。全部で13種類ある。このうち立方八面体と二十・十二面体は辺付近の形状が1種類なので、擬正多面体(quasi-regular polyhedron)といって区別する場合もある。また準正多面体を半正多面体、擬正多面体を準正多面体という事もある。

頂点形状は、1つの頂点に集まる面の種類と順序を示したものである。

正六角形 4枚正八角形 6枚正六角形 8枚正十角形 12枚（サッカーボール型）正六角形 20枚正方形 6枚正五角形 12枚正方形 6+12枚正方形 30枚
正五角形 12枚正六角形 8枚
正八角形 6枚正六角形 20枚
正十角形 12枚（鏡像あり）正方形 6枚（鏡像あり）正五角形 12枚

多面体	構成面	辺	頂点	頂点形状	双対	図
切頂四面体	正三角形 4枚	18	12	3,6,6	三方四面体
切頂六面体	正三角形 8枚	36	24	3,8,8	三方八面体
切頂八面体	正方形 6枚	36	24	4,6,6	四方六面体
切頂十二面体	正三角形 20枚	90	60	3,10,10	三方二十面体
切頂二十面体	正五角形 12枚	90	60	5,6,6	五方十二面体
立方八面体	正三角形 8枚	24	12	3,4,3,4	菱形十二面体
二十・十二面体	正三角形 20枚	60	30	3,5,3,5	菱形三十面体
斜方立方八面体	正三角形 8枚	48	24	3,4,4,4	凧形二十四面体
斜方二十・十二面体	正三角形 20枚	120	60	3,4,5,4	凧形六十面体
斜方切頂立方八面体	正方形 12枚	72	48	4,6,8	六方八面体
斜方切頂二十・十二面体	正方形 30枚	180	120	4,6,10	六方二十面体
変形立方体	正三角形 8+24枚	60	24	3,3,3,3,4	五角二十四面体
変形十二面体	正三角形 20+60枚	150	60	3,3,3,3,5	五角六十面体

準正多面体を正多面体から作るときの方法は5種類ある。それは以下のとおりである。

切頂n面体：正n面体の頂点を切ったもの。切隅n面体、切頭n面体とも。シュレーフリの記号は t{p,q}
n・m面体（擬正多面体）：正nまたはm面体の頂点を各辺の中点まで切ったもの。シュレーフリの記号は $\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$
斜方n・m面体：正nまたはm面体の各辺と頂点を削ったもの。小斜方n・m面体、菱形n・m面体とも。シュレーフリの記号は $r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$
斜方切頂n・m面体：n・m面体の頂点を切ったもの。切頂n・m面体、大斜方n・m面体とも。シュレーフリの記号は $t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$
変形n面体：正n面体の各面をひねったもの。鏡像がある。捩れn面体とも。シュレーフリの記号は $s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$

このほかに、斜方立方八面体の上半分を45度ひねったミラーの立体がある。これも準正多面体の条件は満たすが、正多面体と同じ対称性を持たないため、通常は準正多面体には含まない（ミラーの立体、変形立方体の鏡像、変形十二面体の鏡像を含み準正多面体を16種類とする場合もある）。また、正角柱(アルキメデスの正角柱)や反角柱(アルキメデスの反角柱)も準正多面体の条件を満たすが含まないことがほとんどである。これは種類が無限にあるためと、2次元の対称性しか持たないためである。アルキメデスの立体と言った場合は含むこともある。

正多面体

準正多面体

その他の多面体

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