定規とコンパスによる作図（じょうぎとコンパスによるさくず）とは、定規（定木：直線を引くための道具。長さは測ることができない）とコンパス（円を描く道具）だけを有限回使って図形を描く事を指す。

数学的には、二次方程式を解く事と同値である。つまり、2 次方程式または 1 次方程式に帰着出来る問題は定規とコンパスのみで作図可能であり、帰着できない問題は作図不可能である。「作図可能な線分の長さ」の集合は一つの体をなしている 有名な問題にギリシアの三大作図問題がある。

ギリシアの三大作図問題

1. 与えられた円と等しい面積をもつ正方形を作ること（円積問題）
2. 与えられた立方体の体積の 2 倍に等しい体積をもつ立方体を作ること（立方体倍積問題）
3. 与えられた角を三等分すること（角の三等分問題）

ギリシア時代からこの 3 つの問題は長い間数学者を悩ませてきた。 現在では全て定規とコンパスのみでは作図不可能である事が証明されている。

• 1837年にワンツェルは角の三等分問題と立方体倍積問題は、三次方程式を解かなくてはならない事を示し作図不可能を証明した。
• 立方体倍積問題は、方程式 x³ = 2a³ を解く事と同値である。これは 3 次方程式であるから定規とコンパスのみでは作図不可能である。
• 円積問題は、方程式 x² = πr² の解を求める事と同値である。1882年に、リンデマンにより π が超越数であることが証明され、作図が不可能である事が示された。

なお、角の三等分が不可能である事が示されているにもかかわらず、作図可能である事を示そうとする人々がおり、このような人々は角の三等分家 (Trisector) と呼ばれている。定規やコンパス以外の道具を使用したり、定規やコンパスを本来とは異なる使い方で使用することで "角の三等分" を作図（あるいは工作等）することは可能であるが、当然ながら、これらは元々の "角の三等分問題" の解答ではない。また、「任意の角を三等分する」という問題であるのに、これを「少なくとも一つの角を三等分する」問題であると勘違いし、直角などが三等分できたのでこの問題を解けたと早とちりする人もいる（角度によっては定規とコンパスで三等分出来る）。

作図可能な正多角形

n=2^pF_aF_b…F_c （F_a , F_b , … ,F_c は異なるフェルマー素数。pは整数で、フェルマー素数がある場合は0≦p、ない場合は2≦p。）

で表すことができる。これは逆も成り立つ。

外部リンク

• 角の三等分
• 折り紙による角の三等分

代数学 | 図形

Konstruktion (Mathematik) | Compass and straightedge | Geometrio#Klasikaj problemoj | Construction à la règle et au compas | בנייה בסרגל ובמחוגה | Costruzioni con riga e compasso | 작도 | Konstrukcje klasyczne | Построение с помощью циркуля и линейки | 尺规作图