回文数

回文数（かいぶんすう）とは、14641のように逆から数字を読んでも同じ数になる数である。逆から読んでも同じになる回文から名付けられた。

回文数は、趣味の数学の分野ではよく研究の対象になる。代表的なものとしては、ある性質を持った回文数を求めることがある。以下のようなものがよく知られている。

バックミンスター・フラーは著書の中で、回文数を「シャハラザード数」とも呼んでいる。これは、『1001夜物語』（1001も回文数である）のヒロインの名にちなんでいる。

任意の整数 n>0 は、b進数（ただし、b≧2）においてk+1桁の数字として以下の式で表すことができる。

$n=\sum_{i=0}^ka_ib^i$ （ただし、すべての a_i は b より小さく a_k は 0 でない）

nが回文数になるのは、任意の i に対して a_i=a_k-i が成り立つときである。また、0は何進法においても回文数である。

別の方法としては、以下の方法によって再帰的に定義される。

すべての1桁の数は回文数である。即ち、1桁の回文数は以下の10個である。

2桁の回文数は以下の9個である。

3桁の回文数は90個ある。

101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, … 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999

4桁の回文数は90個ある。

1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999

回文数は、十進法以外の記数法でも考えることが可能である。例えば二進数の回文数は

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

となる。メルセンヌ数やフェルマー数は、二進法における回文数に含まれる。

多くの場合、十進数での回文数は他の記数法においては回文数にはならないし、他の記数法での回文数は十進法では回文数にならない。例えば十進数の16461は、十六進数では404Dとなる。

しかし、複数の記数法において回文数になる数も存在する。例えば十進数における105は、四進数(1221)・八進数(151)・十四進数(77)・二十進数(55)・三十四進数(33)で回文数となる。また、十進数における1991は十六進数(7C7)でも回文数となる。

任意の数字 n は、b進法（ただし、b≧n+1 又は b=n-1）において回文数となる。2≦b≦n-2 であるすべてのb進数において n が回文数にならないとき、n　をstrictly non-palindromic number と呼ぶ。

十八進数において、7の累乗のいくつかは回文数になる。 7³ = 111 7⁴ = 777 7⁶ = 12321 7⁹ = 1367631

すべての記数法において、回文数は無限に存在する。例えば、

などは回文数である。

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