列 (数学)

数学において列とは、対象あるいは事象が羅列されたものを順番に並べたものである。順番に並べるというのは、どの要素間においてもその序列が矛盾無く有効に定められていることを言う。

たとえば (C,Y,R) は文字の列で、(Y,C,R) はまた別の列である。これは、列としては順序が重要だからである。列はこの例のように有限であるもの（有限列）と、正の偶数全体の成す列 (2, 4, 6, ...) のように無限であるもの（無限列）とがある。

列の構成要素は、列の要素あるいは項と呼ばれ、項の数をその数列の長さという。無限列の長さは無限大である。

例と記法

数学においては、いくつかのそしてまったく異なる列の記法が存在する。たとえば完全列のような列は以下に記すような記法ではカバーしていない。

列のひとつの記法としては (a₁,a₂, ...) のように記す方法がある。また簡単に (a_n) と記す方法もしばしば用いられる。

もう少し形式的に、集合 S に項を持つ有限列とは、適当な自然数 n についての {1, 2, ..., n} から S への写像のことである。同様に、S における無限列とは、自然数全体のなす集合 {1,2,...} から S への写像である。

有限列のことを n-組（または n-対）と呼ぶことがある。また、整数全体のなす集合からある集合への写像を両無限列あるいは双無限列 (bi-infinite sequence) と呼ぶ。これは、負の整数で添字付けられた列を正の整数で添え字付けられた列に接いだものと考えることができることによる名称である。

有限列のなかには、何の項も含まない空の列 (null sequence) ( ) も含める。

列の型と性質

ある与えられた列の部分列 (subsequence) とは、残った要素がもとの数列における相対的な序列を保つようにして、与えられた列からいくつかの要素を取り去ることによって得られる列のことである。

列の項全体が、ある順序集合の部分集合であるとき、その列が単調増加列または単調増大列 (monotonically increasing sequence) であるとは、どの項も直前の項以上となっていることを言う。また、どの項も直前の項より真に大きいときには、その列は真の増大列 (strictly monotonically increasing) という。同様にして単調減少列 (monotonically decreasing sequence) も定義される。このような単調性をもつ列は、総じて単調であるまたは単調列と呼ばれる。これはより一般な単調写像の概念における特別の場合になっている。

また、混乱を避けるため、真に増大・真に減少というのに対して、単調増加や単調減少のかわりに、非減少 (non-decreasing) とか非増加 (non-increasing) という用語をもちいて区別することがある。

列の各項が数である列を数列、各項が整数である列を整数列という。また、各項が多項式である列を多項式列と呼ぶ。

もし S に位相が定められているなら、無限列の S における収束について言及することができる。このことの詳細は極限の項を参照されたい。

解析学における列

解析学において列を語るとき、普通は次の

(x_1, x_2, x_3, \dots)

(x_0, x_1, x_2, \dots)

の形、すなわち、自然数全体で添字付けられた無限列のことを指していると理解する。都合によっては列が 0 や 1 以外からはじめることもある。例えば、 x_n = 1 / log(n) で定義される列は n ≥ 2 に対してのみ定義される。このような列を扱うとき、十分大きな（つまり与えられたある N より大きなところの）添字に対して列の要素が与えられていれば、通常は十分であるし、多くの問題についてその結論が変わることは無い。

最も基本的な列の型は数列、つまり実数あるいは複素数の列である。この型はあるベクトル空間の元の列に一般化できる。解析学では、ベクトル空間はしばしば関数空間とみなされる。もっと一般に、抽象的あるいは具体的な位相空間の元に関する列を調べることができる。

級数

列の和を級数という。もう少し正確に、(x₁, x₂, x₃, ...) が列であるとき、部分和の列 (S₁, S₂, S₃, ...) が

S_n=x_1+x_2+\dots + x_n=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i.

とおくことによって考えられる。この新しい列は x₁, x₂, x₃, ... を項とする級数と呼ばれ、

\sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i

と記される。この無限和の記法は部分和の列が収束するとき、その極限を表すためにも用いられる。詳しくは総和の項を参照されたい。

外部リンク

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

順序構造

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例と記法

列の型と性質

解析学における列

級数

関連項目

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