五角形（ごかくけい、ペンタゴン、pentagon）は、5つの辺と頂点を持つ多角形の総称である。

正五角形

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Pentagon.svg 正五角形は、各辺の長さが等しく、内角も108°（中心角は72°）と一定な五角形である。

辺の長さを a とすると

面積

$A\; =\; \backslash frac\{5a^2\}\{4\}\backslash cot\backslash frac\{\backslash pi\}\{5\}\; =\; \backslash frac\{a^2\}\{4\}\backslash sqrt\{25+10\backslash sqrt\{5\}\}\; \backslash simeq\; 1.72048\; a^2$

内接円の半径

$r\; =\; \backslash frac\{a\}\{2\}\backslash tan\backslash frac\backslash pi\{5\}$

外接円の半径

$R\; =\; \backslash frac\{a\}\{2\}\backslash sin\backslash frac\backslash pi\{5\}$

正五角形の作図

正五角形は定規とコンパスによる作図が可能である。以下に示すのはユークリッド原論にある方法である。

Image:Regular pentagon construction1.png|(1) Image:Regular pentagon construction2.png|(2) Image:Regular pentagon construction3.png|(3) Image:Regular pentagon construction4.png|(4)

1. 直線上の一点Oを中心にとった円を描画し、直線と交わる二点をA, B とする。ABの垂直二等分線、及びOAの垂直二等分線を作図する。
2. OAとその垂直二等分線が交わる点をC、円OとABの垂直二等分線が交わる点のうち一つをDとする。CDを半径にとり、Cを中心にDからABまで弧を描画する。弧とABが交わる点をEとする。
3. DEを半径にとり、Dを中心に弧を描画する。弧が円Oと交わる二点をF, Gとする。
4. 同じ半径のままF, Gを中心とした弧を描画する。これらの弧が円Oと交わる五点D, F, G, I, Hを結ぶ図形が正五角形である。

定理

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• 正五角形の一辺と対角線との比は、黄金比に等しい。
• 正五角形の交わる対角線は、互いに他を黄金比に分ける。

その他五角形に関する事項

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• アメリカ国防総省を俗にペンタゴンというが、これは庁舎が五角形である事に由来する。
• 五角形を模した星形（☆）を五芒星（ペンタグラム）という。又、長崎市の紋章はペンタグラムとなっている。
• 鉄の五角形：政治（政）・行政（官）・経済（財）・ジャーナリズム（報）・学者（学）。5者の支配者連合の俗称。
• 自然界には五角形のものが数多く存在する。ヒトデ、星の砂、ウニも、殻の中には5つの卵巣を持っている。
• sin18°=(√5-1)/4で、これに黄金率を掛けると1/2になる。つまり、2sin18°は黄金率の逆数。

参考文献

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• 高木貞治『数学小景』岩波現代文庫 ISBN 4006000812

多角形 | 初等数学

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