乗法

算術における乗法（じょうほう、multiplication）は、繰り返し和をとることにより定義される、自然数あるいは整数同士の演算である。掛け算（かけざん）とも呼ばれる。

乗法は算術の四則と呼ばれるものの一つで、逆の演算として除法をもつ。乗法の結果を積（せき、product）と呼ぶが、しばしば積の一語で乗法そのものを指すことがある。

乗法は、数の拡張にしたがって有理数、実数あるいは複素数の間に拡張される。また、抽象代数学においては、一般に可換とは限らない二項演算に対して、それを乗法、積などと呼称する（演算が可換である場合はしばしば加法、和などと呼ぶ）。

定義

（いずれも 0 でない）自然数 m と n に対して、m を n 個分加えた数

{n {\rm\ times} \atop \overbrace{m + m + \cdots + m}}

を

m × n, m · n, mn

などのように書いて m に n を掛けた数とか m と n の積、m 掛ける n などという。言語によってはその自然な語順から、同じく m を n 個分加えた数を

n × m, n · m, nm

などのように上と逆順に記す場合もある（たとえば英語では n × m を n times m すなわち n 回の m と読む）。ただし、この語順に対する注意は、この演算について交換法則が成り立つ（後述）という性質によって本質的には問題になることはない。

n = 0 のときは、n × m = 0 × m は 0 であると約束する。

さらに整数同士の乗法は、負の整数を掛けるという事を以下のように定める: 整数 m と自然数 n に対して

m × (−n) := (−m) × n

すなわち、「負の整数 -n を掛ける」ということを、「対応する正の整数 n の数だけ符号を反転した整数（ここでは −m）を加える」という演算として定義する。

性質

n と m が自然数であるとき、n を m 個加えるたものと m を n 個加えたものは同じ数である。すなわち

交換法則: n × m = m × n

が成り立つ。また、回帰的に複数回の乗法を行ったものは積をとる順序によらない。すなわち

結合法則: (n × m) × l = n × (m × l)

が成り立つ。結合法則により、3 つの数の積を考えることができる。すなわち

n × m × l := (n × m) × l = n × (m × l)

とする（4 つ以上の数の積も同様である）。ただし無限個の数の積についてはこの限りではない（詳細は総乗の項を参照されたい）。

積と和の間には次の法則が成り立つ：

分配法則: n × (m + l) = n × m + n × l

この性質は、乗法の一般化において重要な手がかりとなる。

乗法の一般化

分数

分数の掛け算は割り算を掛け算の一種として統合する。すなわち、「q で割る」という除法の計算を「1 / q（q の逆数）を掛ける」という操作とみなす。

x × (p / q) := (x × p) ÷ q.

\frac{p}{q}\times\frac{r}{s}:= \frac{p\times r}{q\times s}

この定義は、割合の計算を考えることにより意味づけすることができる。

実数・複素数

多項式

分配法則が成り立つものとして多項式同士の積が定義できる。

アーベル群

自然数や整数における上記の積の定義を再考すれば、加えられる対象である m は自然数や整数に限らずともよいことがわかる。実際、x として有理数や実数など和が定義できるものを考えれば、x を繰り返し加えることとして自然数を掛けることができる。また整数を掛けるためには、数 x は加法的逆元（マイナスの数）が定義できるものであれば何でも良い。すなわち x をあるアーベル群の元とするとき、n が整数であれば

nx = \begin{cases}

{} & {} \\^* {n {\rm\ times} \atop \overbrace{x + x + \cdots + x}} & n > 0 \\^* 0 & n = 0 \\^* {|n| {\rm\ times} \atop \overbrace{(-x) + (-x) + \cdots + (-x)}} & n < 0 \end{cases} として n を掛ける操作を定義できる。このことを「整数全体の集合はアーベル群に自然に作用する」と言い表す。

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定義

性質

乗法の一般化

分数

実数・複素数

多項式

アーベル群

関連項目