三角数

三角数とは、三角形の形にものを並べた時に、そこに並ぶ総数に合致する数のこと。

10 は一つの辺に四つ並べた時に、該当するので、「三角数」の一つである。　　　○ 　　○　○ 　○　○　○ ○　○　○　○

例：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ...

n 番目の三角数 N は、式 N = n(n+1)/2 で表すことができる。あらゆる自然数は高々 3 つの三角数の和で表されるという定理があり、ガウスによって1796年（彼の日誌によれは7月10日）に証明された。この定理は全ての自然数が高々 n 個の n 角数の和によって表されるとするフェルマーの多角数定理の中に含まれている。

四面体数

三角数と同じように、ものを四面体状に配置したとき、その総数を四面体数という。第 n 四面体数は、第 1 三角数から第 n 三角数までの総和であるが、その値 N は N = n(n+1)(n+2)/6 と書くことが出来る。また、同様に四面体数の総和として、4 次元空間での三角数、五胞体数を定義することが出来る。以下、一般次元の空間（ここでは r 次元）まで概念の拡張を行ったとき、第 n 番目のその数 T_r(n) は、

T_r(n) = \prod^{r}_{k=1}\left(1+\frac{n-1}{k}\right) = \frac{n(n+1)\cdots(n+r-1)}{r!} = (-1)^{r-1}{-n \choose r}

と書くことが出来る。

四面体数の始めのいくつかを挙げると、

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969

となる。

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四面体数

関連項目