フィボナッチ数とは次のように定義されるフィボナッチ数列の各項の数である。

$F\_1\; =\; 1$

$F\_2\; =\; 1$

$F\_\{n+2\}\; =\; F\_n\; +\; F\_\{n+1\}\; \backslash quad\; (n\; \backslash ge\; 1)$

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...

フィボナッチ数列のどの項も、その前の二つの項の和となっている。

この数列は通称レオナルド・フィボナッチにより考案された問題から導かれる。

兎の問題：

1つがいの兎は、産まれて2ヶ月目から毎月1つがいの兎を産む。

1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか？

フィボナッチ数の性質

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• フィボナッチ数列の一般項

$F\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\; \backslash left\backslash \{\; \backslash left(\; \backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\; \backslash right)^n\; -\; \backslash left(\; \backslash frac\{1-\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\; \backslash right)^n\; \backslash right\backslash \}\; =\; \{\backslash phi^n\; \backslash over\; \backslash sqrt\{5\}\}\; -\; \{(1-\backslash phi)^n\; \backslash over\; \backslash sqrt\{5\}\}$

（ここでφは黄金比）

• 隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比に収束する。

$\{F\_n\; \backslash over\; F\_\{n-1\}\}\; \backslash rarr\; \backslash phi\; \backslash quad\; (n\; \backslash rarr\; \backslash infin)$

$x\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infin\}\{F\_n\; \backslash over\; F\_\{n-1\}\}$とおけば、

$x\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infin\}\; \backslash over\; F\_\{n-1\}\}\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infin\}\; \backslash left(\; \{1+\{1\; \backslash over\; \{F\_\{n-1\}\; \backslash over\; F\_\{n-2\}\}\}\}\; \backslash right)\; =\; 1\; +\; \{1\; \backslash over\; x\}$

$x^2-x-1=0$

• pとqの最大公約数がrであるならばF_pとF_qの最大公約数はF_rである。
  • このことより以下を導く事が出来る。
    • mがnで割り切れるならば、F_mはF_nで割り切れる。
    • 連続する2数は互いに素であることより、隣り合うフィボナッチ数も互いに素である。

• $F\_1\; +\; F\_2\; +\; F\_3\; +\; ...\; +\; F\_n\; =\; F\_\{n+2\}\; -\; 1$
• $F\_1\; +\; F\_3\; +\; F\_5\; +\; ...\; +\; F\_\{2n-1\}\; =\; F\_\{2n\}$
• $F\_2\; +\; F\_4\; +\; F\_6\; +\; ...\; +\; F\_\{2n\}\; =\; F\_\{2n+1\}\; -\; 1$
• $\{F\_1\}^2\; +\; \{F\_2\}^2\; +\; \{F\_3\}^2\; +\; ...\; +\; \{F\_n\}^2\; =\; F\_n\; F\_\{n+1\}$
• $F\_\{n-1\}\; F\_\{n+1\}\; -\; \{F\_n\}^2\; =\; (-1)^n$

その他のフィボナッチ数列の話題

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• フィボナッチ数は自然界の現象に数多く出現する。
  • 葉序（植物の葉の付き方）はフィボナッチ数と関連している。

フィボナッチ数列の最初の40項

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1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,

10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040,

1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, ...

トリボナッチ数

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トリボナッチ数とは、次のように定義されるトリボナッチ数列に現れる数のことである。

$T\_1\; =\; 1,\backslash \; T\_2\; =\; 1,\backslash \; T\_3\; =\; 2$

$T\_\{n+3\}\; =\; T\_n\; +\; T\_\{n+1\}\; +\; T\_\{n+2\}\; \backslash quad\; (n\; \backslash ge\; 1)$

フィボナッチ数列が、「隣り合う2項間の和が次の項になっている」のに対し、トリボナッチ数列は、「連続する3項間の和が次の項になっている」のである。

最初のいくつかの項を書き出すと、次のようになる。

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, ...

トリボナッチ数列の一般項は次のように表される。

$T\_n\; =\; \backslash frac\{\backslash beta\backslash gamma\; -\; \backslash beta\; -\; \backslash gamma\; +\; 2\}\{(\backslash beta\; -\; \backslash alpha)(\backslash gamma\; -\; \backslash alpha)\}\backslash alpha^\{n-1\}\; +\; \backslash frac\{\backslash gamma\backslash alpha\; -\; \backslash gamma\; -\; \backslash alpha\; +\; 2\}\{(\backslash gamma\; -\; \backslash beta)(\backslash alpha\; -\; \backslash beta)\}\backslash beta^\{n-1\}\; +\; \backslash frac\{\backslash alpha\backslash beta\; -\; \backslash alpha\; -\; \backslash beta\; +\; 2\}\{(\backslash alpha\; -\; \backslash gamma)(\backslash beta\; -\; \backslash gamma)\}\backslash gamma^\{n-1\}$

ただし、α, β, γ は方程式 x³ - x² - x - 1 = 0 の3解である。(以下では、ωは 1の立方根のうち虚数の方を表す。)

$\backslash alpha\; =\; (1\; +\; \backslash sqrt+\; \backslash sqrt[3\{19+3\backslash sqrt\{33\}\})/3$

$\backslash beta\; =\; (1\; +\; \backslash omega\; \backslash sqrt+\; \backslash bar\{\backslash omega\}\; \backslash sqrt[3\{19+3\backslash sqrt\{33\}\})/3$

$\backslash gamma\; =\; (1\; +\; \backslash bar\{\backslash omega\}\; \backslash sqrt+\; \backslash omega\; \backslash sqrt[3\{19+3\backslash sqrt\{33\}\})/3$

また、上の3つのうち、実数解αのことをトリボナッチ定数という。トリボナッチ数列の隣り合う2項間の比は、トリボナッチ定数に収束する。

$\{T\_n\; \backslash over\; T\_\{n-1\}\}\; \backslash rarr\; \backslash alpha\; =\; 1.83929...\; \backslash quad\; (n\; \backslash rarr\; \backslash infin)$

関連項目

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• 数学定数
• 黄金比

参考文献

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• 中村 滋『フィボナッチ数の小宇宙(ミクロコスモス)―フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割』日本評論社 ISBN 4535782814
• R.A.ダンラップ『黄金比とフィボナッチ数』日本評論社 ISBN 4535783705
• 佐藤 修一『自然にひそむ数学―自然と数学の不思議な関係』講談社ブルーバックス ISBN 406257201X
• Thomas Koshy, "Fibonacci and Lucas Numbers (Pure and Applied Mathematics (Wiley))", Wiley-Interscience ISBN 0471399698
• Leonardo Pisano Fibonacci, "The Book of Squares", Academic Press ISBN 0126431302
• Laurence Sigler, "Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation (Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences)", Springer-Verlag ; ISBN 0387407375 ISBN 0387954198

外部リンク

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• The Fibonacci Association（フィボナッチ協会）（英語）
• Fibonacci Quarterly Home Page（フィボナッチ・クォータリー）（英語）

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