SierpinskiTriangle.PNG シェルピンスキーのギャスケットはフラクタル図形の一種であり、自己相似的な無数の三角形からなる図形である。 ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキにちなんで名づけられた。 シェルピンスキーのギャスケットはフラクタル図形であるため、正確に作図することは 不可能だが、以下の手順を繰り返すことで、近似的な図形を作図することはできる。 なお、繰り返し回数を増やすことにより、望む処まで近似のレベルを高めることができる。

1. 1 辺の長さが 1 の正三角形の各辺の中点を互いに結ぶと、中心部に 1 辺の長さが 1/2 の正三角形ができる。
2. この 1 辺の長さが 1/2 の正三角形を切り取る。
3. これによって、1 辺の長さが 1/2 の正三角形が 3 個残る。
4. さらに、これら 4 つの正三角形の各辺の中点を互いに結んで出来た長さが 1/4 の正三角形を切り取る。
5. これによって、1 辺の長さが 1/4 の正三角形が 9 個残る。
6. 同様に手順をくりかえすと、n 回目には長さ (1/2)ⁿ の正三角形を切り取り、長さ (1/2)ⁿ の正三角形が 3ⁿ 個残る。

シェルピンスキーのギャスケットの次元（ハウスドルフ次元）は log(3)/log(2) ≈ 1.585 であり、 1 次元と 2 次元の間の値をとる。この様に非整数次元をとるのはフラクタル図形の特徴である。

シェルピンスキーのギャスケットは以下のような方法でも作ることができる。

• 2ⁿ 行のパスカルの三角形で偶数の箇所を白く、奇数の箇所を黒く塗りつぶす。このようにしてできる図形は、n を無限大にすることで、シェルピンスキーのギャスケットとなる。
• 1 次元のセル・オートマトンの内、ルール 90 と呼ばれるものは、シェルピンスキーのギャスケットを生成する。

同様のフラクタル図形の例として、0 次元と 1 次元の間の値をとる「カントール集合」（0.6309… 次元）や、2 次元と 3 次元の間の値をとる「メンガーのスポンジ」（2.7272… 次元）などがある。

フラクタル

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