In teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o variabile random) può essere pensata come il risultato numerico di un esperimento quando questo non è prevedibile con certezza (ossia non è deterministico). Ad esempio, il risultato del lancio di un dado a sei facce può essere matematicamente modellizzato come una variabile casuale che prende i sei possibili valori $1,\backslash ,\; 2,\backslash ,\; 3,\backslash ,\; 4,\backslash ,\; 5,\backslash ,\; 6$.

Bruno de Finetti definiva numero aleatorio (termine suggerito dallo stesso per denotare la variabile casuale) un numero ben determinato ma non noto per carenza di informazioni.

Più formalmente, dato uno spazio campionario $\backslash Omega$ su cui è definita una misura di probabilità $\backslash nu$ una variabile casuale è una funzione misurabile dallo spazio campionario allo spazio euclideo dove, secondo la definizione di Lindgren (1976): una funzione $X$ definita sullo spazio campionario $\backslash Omega$ si dice misurabile rispetto al campo di Borel $\backslash mathcal\{B\}$ se e solo se l'evento $\backslash \{\backslash omega\backslash in\; \backslash Omega\; :\; \backslash leq\; \backslash lambda\; \backslash \}$ appartiene a $\backslash mathcal\{B\}$ per ogni $\backslash lambda$.

• Le variabili casuali a una dimensione si dicono semplici.
• Le variabili casuali a più dimensioni si dicono multiple (doppie, triple, k-uple).

Variabili casuali che dipendono da un parametro t (t come tempo) vengono considerati dei processi stocastici.

Distribuzione di probabilità

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Ad una variabile casuale X si associa la legge di probabilità, che associa ad ogni sottoinsieme dell'insieme dei possibili valori di X la probabilità che la v.c. X assuma valore in esso. In formule, se X è una v.c. a valori reali e A è un sottoinsieme della retta reale la legge di probabilità di X associa a A

$P(X\backslash in\; A)\; =\; \backslash nu(X^\{-1\}(A))$

dove $\backslash nu$ è la misura di probabilità definita sullo spazio campionario.

La legge di probabilità della v.c. X è espressa in genere in termini della funzione di ripartizione di X, definita come $F(x)=\; P(X\; \backslash le\; \backslash \; x)$. Inoltre:

• se la v.c. X è discreta, cioè l'insieme dei possibili valori è finito o numerabile, è definita la funzione di probabilità o funzione di distribuzione o funzione massa di probabilità

$p(x)=P(X=x)$

• se la v.c. X è continua, cioè l'insieme dei possibili valori ha la potenza del continuo, è definita la funzione di densità di probabilità, cioè la funzione f non negativa tale per cui

$P(X\backslash in*)=\backslash int\_a^bf(x)dx$

Storia

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Ancorché non formalizzata, il concetto della distribuzione statistica attorno ad una media era nota fin dall'antichità. Leggiamo infatti nel Fedone di Platone:

«E non è ingiusto, questo? Non è forse vero che chi si comporta così, evidentemente vive tra gli uomini senza averne nessuna esperienza? Se, infatti, li conoscesse appena, saprebbe che son pochi quelli veramente buoni o completamente malvagi e che per la maggior parte, invece, sono dei mediocri.»
«In che senso?» feci.
«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi. Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un cane o un altro essere qualunque molto grande o molto piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero? Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti, anzi numerosi?»

(Platone, Fedone, XXXIX)

Alcune variabili casuali utilizzate in statistica

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• variabili casuali discrete
  • variabile casuale Uniforme discreta
  • variabile casuale Bernoulliana, caso particolare della Binomiale
  • variabile casuale Binomiale
  • variabile casuale Binomiale Negativa usata per eventi rari in alternativa alla Poissoniana
  • variabile casuale Poissoniana detta pure legge degli eventi rari
  • variabile casuale Geometrica o di Pascal
  • variabile casuale Ipergeometrica
  • ... e altre
• variabili casuali continue
  • variabile casuale Normale o Gaussiana
  • variabile casuale Gamma o Erlanghiana
  • variabile casuale esponenziale negativa, caso particolare della v.c. Gamma
  • variabile casuale Chi Quadrato χ², caso particolare della v.c. Gamma
  • variabile casuale Beta
  • variabile casuale Rettangolare o Uniforme continua
  • variabile casuale t di Student
  • variabile casuale F di Snedecor
  • variabile casuale di Cauchy, caso particolare della t di Student
  • variabile casuale di Lorentz, caso particolare della Cauchy
  • variabile casuale Logonormale, usata per descrivere la distribuzione dei redditi
  • variabile casuale Paretiana, usata per descrivere la distribuzione dei redditi in presenza di un reddito minimo
  • variabile casuale di Wishart
  • variabile casuale T-quadrato di Hotelling
  • ... e altre

Teoremi

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Se:X₁, X₂, ... , X_n sono v.c. Bernoulliane uguali e indipendenti

allora:X = X₁ + X₂ +...+ X_n, è una v.c. Binomiale B(n;p)

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Se: X è una variabile casuale Binomiale B(n;p) con n molto grande (orientativamente n>50) e p molto piccolo, tale che n p è, orientativamente, minore di 10 e p(1-p) quasi uguale a p,

allora: la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale Poissoniana ove λ = n p.

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Se: X è una variabile casuale Binomiale B(n;p) con n molto grande, ma np>10 (e dunque non vale l'approssimazione con la v.c. poissoniana),

allora: la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale Normale con valore atteso pari a np e varianza uguale a npq: N( np ; npq).

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Se: X e Y sono due variabili casuali indipendenti, distribuite come una v.c. poissoniana con parametro rispettivamente λ_x e λ_y

allora: Z=X+Y è a sua volta una v.c. Poissoniana con parametro λ_z = λ_x+λ_y

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Se:X è una variabile casuale Beta con p=q=1

allora: si tratta di una v.c. rettangolare con i parametri a e b

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Se:X e Y sono due v.c. Gamma in senso stretto (a=1) con il parametro p uguale ripettivamente a n e m

allora: Z=X/Y è distribuita come una v.c. Beta con i parametri p=n e q=m

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Se: X e Y sono due v.c. identiche e indipendenti distribuite come una variabile casuale Esponenziale Negativa con parametro a

allora:Z=X+Y è una v.c. Gamma con parametri a e p=2

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La v.c. Esponenziale Negativa viene usata in relazione alla v.c. Poissoniana in quanto:

se: il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una Poissoniana (con parametro λ),

allora: l'intervallo di tempo che passa tra due successi è distribuito come una Esponenziale Negativa con a=λ

e viceversa.

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Se:X₁, X₂, ..., X_n sono n v.c. χ² tra di loro indipendenti, ciascuna con g_i gradi di libertà,

allora: la v.c. Y = X₁ + X₂ + ... + X_n è a sua volta una v.c. χ² con g gradi di libertà, ove g = g₁ + g₂ + ... + g_n

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Se:Z è una v.c. Normale standardizzata N(0,1), e X=Z²

allora: X è una v.c. χ² con 1 grado di libertà.

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Considerato un campione di n elementi estratto da una popolazione normale Z(μ;σ²) indicando con S² la distribuzione della varianza campionaria sarà:

(n S²/σ² ) ~ χ²_n-1

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Se:X è una v.c. t di Student e g → +∞

allora: X tende ad una v.c. Normale standardizzata (μ=0 e σ²=1)

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Se: Z~N(0;1) e X~χ²_g,

allora: T=Z/√X/g è distribuita come una v.c. t di Student con g gradi di libertà.

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Se: X è una v.c. t di Student con g=1

allora: si ottiene la v.c. di Cauchy.

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variabile casuale F di Snedecor:

Se: il secondo grado di libertà è molto grande,

allora: la F di Snedecor tende verso una v.c. Gamma con a=p=g/2

Se: entrambi i gradi di libertà sono molto grandi,

allora: si può usare la Normale

Se: il primo grado di libertà è pari ad uno,

allora: si può usare la v.c. t di Student

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Se:X_g1 e X_g2 sono v.c. Chi Quadrato con rispettivamente g1 e g2 gradi di libertà

allora: Y = / [X_g2/g2 è distribuita come una variabile casuale F di Snedecor con g1 e g2 gradi di liberta;

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Se: in un processo markoviano (continuo nel tempo) nascite-morti, con le condizioni iniziali P_n(0)=1 per n=0, e =0 altrimenti, si osserva un processo di pure nascite con tasso costante λ

allora: si ottiene la soluzione P_n(t)=e^-λt (λt)^k/k!, ovvero una variabile casuale Poissoniana con parametro λt

Statistica | Variabili casuali | Zufallsvariable | random variable | Variable aleatoria | Variable aléatoire | משתנה מקרי | Stochastische variabele | Zmienna losowa | Случайная величина | Stokastisk variabel | 随机变量