Dato un gruppo G, un sottogruppo K di G si dice normale (o invariante) se per ogni elemento k di K l'elemento gkg^-1 è ancora un elemento di K comunque si scelga g in G (in altre parole, è invariante per coniugio). In questo caso scriviamo:

$K\backslash triangleleft\; G$.

I sottogruppi normali sono importanti in teoria dei gruppi, perché se K è un sottogruppo normale di G è possibile definire il gruppo quoziente G/K.

Esempi

• In un gruppo abeliano, ogni sottogruppo è normale.
• Il nucleo di un omomorfismo h: G → H è un sottogruppo normale di G.
• I sottogruppi {e} e G (il più piccolo ed il più grande fra i sottogruppi di G) sono sempre normali. Se sono gli unici sottogruppi normali, il gruppo si dice semplice.
• Il gruppo delle traslazioni dello spazio euclideo è un sottogruppo normale del gruppo dei movimenti rigidi dello spazio. Ad esempio, in tre dimensioni: se ruoto, quindi traslo, e poi ruoto nell'altro verso, ottengo una traslazione (che può essere diversa da quella iniziale).
• L'intersezione di una famiglia finita di sottogruppi normali è normale.
• L'immagine inversa tramite omomorfismo di un gruppo normale è normale.
• Prodotto di gruppi normali in un prodotto di gruppi è normale.
• Se F è sottogruppo normale di G e G è sottogruppo normale di H, F non è necessariamente normale in H.
• Ogni sottogruppo di indice 2 è normale.

Voci correlate

• ideale

teoria dei gruppi

Normální podgrupa | Normalteiler | Subgrupo normal | Sous-groupe distingué | תת חבורה נורמלית | Dzielnik normalny | Normal subgroup