Insieme (matematica)

Il concetto di insieme costituisce l'elemento fondante di tutta la matematica moderna: qualunque testo introduttivo e qualunque area della matematica inizia con nozioni di teoria degli insiemi.

Con il termine insieme si indica una collezione di oggetti chiamati elementi dell'insieme. Gli elementi possono o esserci o non esserci, non ci sono vie di mezzo, non possono comparire più volte e non hanno un ordine di comparizione. Gli elementi caratterizzano univocamente l'insieme: due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi.

Il concetto di insieme è primitivo ed intuitivo.

"primitivo" perché non può essere derivabile da concetti più elementari,
"intuitivo" perché nasce spontaneamente nella nostra mente ed ivi ne è sepolto.

Descrizioni di insiemi

Un insieme viene indicato solitamente con le lettere maiuscole dell'alfabeto: A, B, C, Z, X ... e deve essere univocamente determinato.

Un insieme può essere definito nei seguenti modi:

In forma tabulare o per elencazione: vengono elencati tutti gli elementi, in tal caso la convenzione comune è quella di scrivere l'elenco degli elementi tra parentesi graffe separati da virgole, ad esempio:

F = \{ \mbox{rosa, giglio, geranio} \}

questo tipo di definizione è utilizzabile solo nel caso di insiemi finiti, per gli insiemi infiniti si fa talvolta uso di puntini di sospensione laddove si ritiene che è evidente il modo in cui sono stati scelti gli elementi, ad esempio:

P=\left\{1,\frac1 2 , \frac 1 3 , \frac 1 4 , \frac 1 5, \, ...\right\}

Per caratteristica o in estensione: come l'insieme di tutti gli oggetti che verificano una determinata proprietà $P$ . In tal caso si usa la scrittura $\{x : P(x)\}$ dove al posto di $P(x)$ può comparire la descrizione di una particolare proprietà. Es. : F = { x : x è un fiore} ( $F$ è definito come l'insieme degli x tale che x è un fiore), $F = \{x: x=\frac 1 n \mbox{ con } n \mbox{ numero intero positivo} \}$

Operazioni tra insiemi

Le principali operazioni tra insiemi sono:

L' unione di due insiemi A e B: si indica con A∪B ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A o all'insieme B o a entrambi.

L' intersezione di due insiemi A e B: si indica con A∩B ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente.

B minus A, relative complement (set teory, Venn diagram).PNG

La differenza B meno A si indica con B\A o con B-A ed è data dall'insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A.

Relazioni tra insiemi

Due insiemi A e B si dicono:

coincidenti: se sono lo stesso insieme, questo si verifica se e solo se hanno gli stessi elementi
disgiunti: non hanno nessun elemento in comune

Si dice che A è sottoinsieme di B se B contiene tutti gli elementi di A. In tal caso si usa la notazione:

A \subset B

L'insieme vuoto

Si chiama insieme vuoto l'insieme che non contiene nessun elemento. Tale insieme si indica con il simbolo $\varnothing$ oppure con le parentesi graffe aperte e chiuse {}.

L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sè stesso).

Insiemi speciali

Alcuni insiemi hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:

L'insieme N dei numeri naturali
L'insieme Z dei numeri interi
L'insieme Q dei numeri razionali
L'insieme R dei numeri reali
L'insieme C dei numeri complessi

Cardinalità

Gli insiemi possono essere classificati in base al numero di elementi; in particolare un insieme è

finito: se ha un numero finito di elementi;
infinito: se ha infiniti elementi.

La cardinalità di un insieme lo caratterizza in base al numero dei suoi elementi.

Due particolari tipi di insieme sono: l'insieme vuoto, cioè privo di elementi, indicato con il simbolo $\varnothing$ oppure ∅, o talvolta con "{}", la sua cardinalità è zero; e l'insieme universo, cioè che contiene tutti gli insiemi esistenti (incluso anche l'insieme vuoto), e che viene indicato con U.

Graficamente gli insiemi si rappresentano con i diagrammi di Eulero/Venn.